2.8.Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) показниковий; в) нормальний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.В.В., розподілених за цими законами.

1.Рівномірний.Величина Х розподілена рівномірно у проміжку (a,b), якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її імовірностей у цьому проміжку постійна, тобто

При х (a,b),

При х (a,b).

Величина визначається умовою нормування Р(а< X<b) = C(a - b) = 1

Імовірність влучення Х в інтервал (х1, х2) дорівнює відношенню довжини цього інтервалу до довжини усього проміжку (a,b).

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків. С=const

2. Нормальний. Випадкову величину Х називають розподіленою нормально, якщо щільність її імовірностей має вигляд

, де а та σ – параметри розподілу.

Графік цієї функції називається нормальною кривою або кривою Гаусса. При а=0 та Ϭ=1 нормальну криву називають нормованою Тобто це функція Лапласа яка табульована. Заміна змінної з використанням інтеграла Пуассона.

а)Ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить інтервалу (α,β):

-функція Лапласа. б) Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менша числа γ:

3. Показниковий. Випадкову величину Х називають розподіленою за показниковим законом, якщо щільність її імовірностей має вигляд

п ри х 0;

при х<0, де λ>0 – параметр.

Показниковому розподілу задовольняють : час телефонної розмови, чс ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп’ютера. Якщо НВВ Х розподілена за показниковим законом, то вона має математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення рівні.

Показниковим (експоненціальним) назив розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, яка описується функцією щільності , λ – постійна додатня величина. Функція розподілу показникового закону Ймовірність попадання в інтервал (а, в):

Властивості ф-ції розподілу:1) ; 2) ; 3) ; 4) Ф-ція розподілу F(X) є неспадною ф-цією ; 5)

Властивості ф-ції щільності розподілу: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.9.Пояснити зміст терміну «закон великих чисел». Сформулювати нерівність а. Чебишова у всіх формах. Навести приклади її застосування.

Граничні теореми теорії ймовірностей встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових величин або випадкових подій при великій кількості випробувань. Граничні теореми описують також граничні закони розподілу.

Граничні теореми, які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових подій, об’єднують загальною назвою – закона великих чисел.

Перша форма нерівності Чебишова.

Для довільної випадкової величини Х, яка приймає невід’ємні значення та має скінчене математичне сподівання Р(Х≥1)≤М(Х).

Якщо Х – дискретна випадкова величина, то Р(Х≥1) =

Якщо Х – неперервна випадкова величина, f(x) – щільність її імовірностей, то

Р(Х≥1) = .

Друга форма нерівності Чебишова.

Якщо випадкова величина Х має скінчені математичне сподівання та дисперсію, то для довільного ε>0 має місце нерівність