Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа   обозначается   и определяется выражением  . Часто обозначается буквами   или  . Если   является вещественным числом, то   совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых   имеют место следующие свойства модуля. :

1)  , причём   тогда и только тогда, когда  ;;

2)   (неравенство треугольника);

3)  ;

4)  .

Из третьего свойства следует  , где  . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем  .

5) Для пары комплексных чисел   и   модуль их разности   равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол   (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу  , называется аргументом числа   и обозначается  .

• Из этого определения следует, что  ;  ;  .

• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа   аргумент определяется с точностью до  , где   — любое целое число.

• Главным значением аргумента называется такое значение  , что  . Часто главное значение обозначается  ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:  .

10

Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx   0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М₀ и обозначается одним из символов:

По определению,

Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Производные f'_x, f'_y, f'_z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными.

Так как частное приращение Δxf(M₀) получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f'_x(M₀) может рассматриваться как производная функции f(x,y₀,z₀) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x.

Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным.

Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

12

Производная обратной функции

Пусть    -- непрерывная функция, монотонная на интервале   . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция   имеет обратную функцию   , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале   , в который функция   переводит интервал   . Пусть    -- фиксированная точка и    -- точка, ей соответствующая. Тогда   .         Теорема 4 . 5   Пусть функция   имеет в точке   производную   . Тогда обратная функция   имеет в соответствующей точке   производную  , которую можно отыскать по формуле   ( 4 .14)          Доказательство .     Дадим аргументу   приращение   , такое что  , и рассмотрим соответствующее приращение   , определяемое равенством   . Тогда, очевидно,   ; при этом  , а из монотонности функции   следует, что   . Поскольку как функция   , так и функция   непрерывны, то условия   и  эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции  и запишем для него очевидное равенство:   Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при   и учтём, что при этом   тоже стремится к 0:   что мы и хотели доказать.      Заметим, что, очевидно, из формулы ( 4.14 ) следует, что   ( 4 .15) если   -- функция, обратная к   .         Замечание 4 . 10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная   , то разностное отношение   стремится к   при   , что соответствует вертикальной касательной к графику   при   (если считать, что ось  расположена горизонтально, а ось    -- вертикально).       Рис. 4 . 7 .Графики функций   и   и касательные к ним при   Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции   , так и обратной функции  изображается на координатной плоскости   одной и той же линией, состоящей из точек   , где   или, что то же самое,   . Поэтому, если в точке   график функции   имеет касательную, образующую угол   с осью   , то угол той же касательной с осью   будет, очевидно, равен  . Тогда   поскольку для обратной функции   производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси   , на которой меняется аргумент функции   .  Рис. 4 . 8 .Углы, тангенсы которых равны  и   , дополняют друг друга до   

13

Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!  Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.  Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование". 

14