4. Уравнение абсолютных и относительных погрешностей.

Уравнение погрешности связывает отклонение выходного параметра у с отклонениями параметров ЭРЭ и схемных параметров.

Уравнение абсолютных погрешностей.

– относительная погрешность выходных параметра; - абсолютная погрешность параметров ЭРЭ и схемных параметров.

Для вывода соотношения между и рассмотрим частный случай зависимости от одного параметра

Разложим правую часть уравнения в ряд Тейлора

Отбросив в данном уравнении величины 2-го и более высоких порядков из-за их значений получим

Вычтем из (**) (*), получим

Перейдем к конечным приращениям

Поскольку в уравнении параметры независимы, то можем переписать (1) в следующем виде, учтя n параметров:

Уравнение (2) – уравнение абсолютных погрешностей. Недостатком данного уравнения является то, что абсолютные погрешности размерны и использовать такое уравнении возможно только в частном случае, когда параметры имеют одинаковые размерности.

Уравнение относительных погрешностей

Для получения уравнения относительных погрешностей выполним следующую операцию

Полученное уравнение (3) относительных погрешностей связывает относительную погрешность выходного параметра и относительную погрешность параметров ЭРЭ и схемных параметров. Относительные погрешности безразмерны, поэтому уравнение 3 можно использовать в случаях, когда выходной параметр зависит от самых разнообразных параметров ЭРЭ и схемных параметров.

Уравнение относительных погрешностей с числовыми коэффициентами.

Запишем уравнение относительных погрешностей в следующем виде:

Введем обозначение и назовем его коэффициентом влияния i-го параметра, он показывает степень влияния относительной погрешности i-го параметра на относительную погрешность выходного параметра .

Коэффициенты влияния могут быть получены путем расчета, путем проведения эксперимента.

Индекс «0» в соотношении (*) свидетельствует о том, что параметры ЭРЭ и схемные параметры подставляются в виде номинальных значений, параметры активных ЭРЭ в виде параметров рабочей точки.

Порядок расчета: 1) 2) умножить на 3) поделить на

Тогда уравнение относительных погрешностей может быть переписано в виде:

(4) – уравнение относительных погрешностей с числовыми коэффициентами.

Все погрешности (относительные, абсолютные) параметров ЭРЭ и схемных параметров являются величинами случайными. Поскольку является суммой случайных величин, то и тоже случайные величины. Уравнения (1) и (2) являются уравнениями случайных величин.

Поскольку любая случайная величина не обладает никакой отличной от 0 вероятностью, то подставлять в уравнения (2) и (4) конкретные значения отклонений недопустимо.

5. Систематическая составляющая относительной погрешности выходного параметра.

Для определения воспользуемся теоремой сложения МО случайных величин из теории вероятностей. является суммой случайных величин с числовыми коэффициентами. Теорема говорит, что .

Справедливо как для независимых так и для зависимых случайных величин. Применяя (*) к (4) можно получить:

Используя соотношение (5)

Законы распределения относительных погрешностей параметров ЭРЭ обычно являются симметричными, но обычно . 2 закона Симпсона приводят к нормальному закону, 3-4 равн. Закона приводят к нормальному закону.

Поскольку отклонения параметров невелики количество параметров значительно (больше 4-5) и параметры принимаются независимыми, то согласно центральной предельной теореме вероятностей + закон распределения случайной величины является нормальным.

Кроме того зная, что большинство законов распределения симметричные, то законы распределения относительно погрешности выходного параметра является нормальным и симметричным и (коэффициент асимметрии).

Полученное соотношение для частного случая, когда выходной параметр y зависит только от параметров пассивных ЭРЭ, для которых закон распределения относительной погрешности всегда симметричен и , получим