11.Разрывы функций. Классификация разрывов.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не

удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа:

1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , .

2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка функции (когда ).

Пример. а) найти точки разрыва функции , если они существуют; б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва; в) сделать схематический чертеж графика функции в окрестности точек разрыва.

		0		1

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) функция определена в точке ;

2) имеет конечный предел при ;

3. этот предел равен значению функции в этой точке .

Функция не определена в точке и, следовательно, в этой точке функция терпит разрыв, т.е. не выполняется первое условие непрерывности.

Найдем односторонний предел с права, так как , то в точке функция имеет разрыв второго рода (если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен, то - точка разрыва второго рода).

12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .

Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке рис 1.

Прежде всего, необходимо выяснить, что будет пониматься под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 2 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Проведем секущую рис. 1.

Под касательной к кривой в точке естественно понимать предельное положение секущей при приближении точки к точке , т.е. при .

Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид .

У гловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из . Итак, угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке равен пределу углового коэффициента секущей , когда , т.е. .