14. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Разные формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Линии первого порядка.

Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

(1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Теорема доказана.

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Определение 7.1. Уравнение Ф(х,у) = 0 (7.1)

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Пример.

(х – а)² + (y – b)² = R² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

где функции непрерывны по параметру t.

Прямая на плоскости

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х – х0) + В(у – у0) = 0 - (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.

Обозначив -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так

к ак вектор

где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), ее направляющим вектором можно считать

и из уравнения

следует:

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.