5. Обнаружение автокорреляции первого порядка. Критерий Дарбина—Уотсона

Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка:

.

(8)

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т.е. его значению в период ), умноженному на , плюс новый . Данная схема оказывается авторегрессионной, поскольку и определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если положительно, то автокорреляция положительная; если отрицательно, то автокорреляция отрицательная. Если , то автокорреляции нет и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Конечно, мы не располагаем способом измерения значений случайного члена, поэтому мы не можем оценить регрессию (8) непосредственно. Тем не менее мы можем оценивать путем оценивания регрессионной зависимости от с использованием обычного МНК. При этом – оценка равна

.

(9)

Так как среднее значение остатков равно нулю, (среднее значение остатков в наблюдениях от 1 до ) и (среднее значение остатков в наблюдениях от 2 до ) будут близки к нулю, если выборка достаточно велика, и

, .

(10)

Следовательно,

.

(11)

Широко известная статистика Дарбина-Уотсона ( или ) определяется следующим образом:

.

(12)

Можно показать, что в больших выборках

.

(13)

Если автокорреляция отсутствует, то , и поэтому величина должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина , вообще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как должно находиться между значениями 1 и –1, то d должно лежать между 0 и 4.

Рис. 6. 5. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию (предполагаемая положительная автокорреляция)

Критическое значение при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэтому невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения . Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как и .

Рис. 6. 6. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию (предполагаемая отрицательная автокорреляция)

На рис. 6.5 и рис. 6.6 данная ситуация представлена в виде схемы; отмечен критический уровень , который обозначается как . Разберемся подробнее с рис 1. Если бы мы знали значение , то могли бы сравнить с ним значение , рассчитанное для нашей регрессии. Вместе с тем мы знаем только, что находится где-то между и . Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина меньше, чем . В этом случае она будет также меньше, чем , и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции.

2. Величина больше, чем . В этом случае она больше критического уровня, и поэтому мы не сможем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции.

3. Величина находится между и . В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя определить, которая из двух возможностей налицо, мы не можем ни отклонить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина-Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавшееся положение нельзя.

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симметрично справа от 2.