24)Теорема о среднем значении
Теорема
5.
Если f(x)
- непрерывная функция, заданная на
промежутке [a, b],
то существует такая точка 
,
что
(14)
В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму
Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что
получим:
m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).
Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству
Таким образом, частное
есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).
Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.
Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.
25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Если
в определенном интеграле 
изменять
верхний предел b,
то будет меняться и значение интеграла,
то есть интеграл будет функцией верхнего
предела.
Обозначим
верхний предел x,
а переменную интегрирования, чтобы не
смешивать ее с верхним пределом,
обозначим t.
Таким образом, интеграл с переменным
верхним пределом является функцией
от x: 
.
Имеет
место теорема: производная
интеграла с переменным верхним пределом
от непрерывной функции равна
подынтегральной функции, в которой
переменная интегрирования заменена
верхним пределом: 
Доказательство. По определению производной
где 
[первый
интеграл представим в виде суммы двух
интегралов, пользуясь свойством
аддитивности]=
[по
теореме о среднем]=
где 
Тогда
следует
из определения непрерывной функции,
т.к. при 
.
Таким образом, 
Это
значит, что интеграл с переменным
верхним пределом 
является
первообразной для функции 
.
26) Формула Ньютона-Лейбница
Теорема.
Если 
–
какая–либо первообразная для непрерывной
функции
,
то
Доказательство.
Пусть
–некоторая
первообразная функции
.
Но 
–
также первообразная для
,
а любые две первообразные данной функции
отличаются на постоянную, то есть можно
записать:
|
(4) |
Это
равенство справедливо для любых 
.
Положим 
: 
Но 
,
поэтому 
,
.
Полагая в (4) x=b и подставляя
значение C, получим 
Переобозначив
переменную интегрирования
,
получим формулу Ньютона – Лейбница: 
При вычислении определенных интегралов будем записывать:
Пример1.
(геометрически
это площадь фигуры, ограниченной одной
полуволной синусоиды и отрезком 
оси Ox).
Пример2. 
27)Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
Пример 1.
Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).
Пример 2.
Здесь применена подстановка x = R sin t, и формула (22) прочитывается справа налево. Дальнейшее вычисление просто:
и окончательно
Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то
(24)
Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.
Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то
откуда и следует (24).
28)Параметрические уравнения окружности
29)Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Полярными
координатами произвольной точки М
(относительно заданной системы)
называются числа 
и 
(см.
рис.). Угол 
при
этом следует понимать так, как принято
в тригонометрии. Число 
называется
первой координатой, или полярным углом
точки М (
называются
также амплитудой).
Символ М( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .
Полярный
угол
имеет
бесконечно много возможных значений
(отличающихся друг от друга на величину
вида 
,
где n -
целое положительное число). Значение
полярного угла, удовлетворяющее
неравенствам 
,
называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
, 
.
В этом же случае формулы
, 
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих
систем одинаковыми.
Уравнение кардиоиды
Кардиоида –
плоская кривая, описываемая п
роизвольной
точкой М окружности
радиуса r,
катящейся без проскальзывания извне
по другой, неподвижной, окружности того
же радиуса – см. рис.
Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так: = (1 + cos )
Уравнение окружности
Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .
Уравнение трёхлепестковой розы
= sin 3
= cos 3
Уравнение четырехлипестковой розы
30)Площадь плоской фигуры в декартовых координатах и параметрической форме
В декартовых
а)
Допустим, что фигураD
предполагает наличие границы
D
является криволинейной трапецией и
,
при условии, что
на
Если
D находится ниже оси
(рис.
18.1), то
Рис.
18.1
Пример:
(рис.
18.1, б).
б)
Предположим, что для фигуры D
харакерно наличие границы
Площадь
(рис.
18.2, а),
Рис.
18.2
соответственно
получаем формулу
В общем случае площадь находится с помощью формулы
31) Площадь криволинейного сектора в полярных координатах