22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим свойства линейного однородного уравнения второго порядка

, (2.1)

где и – действительные числа.

Теорема 1. Если число  – вещественный корень уравнения характеристического уравнения

, (2.2)

то функция является решением уравнения (2.1).

Если числа и – комплексные корни уравнения (2.2), то функции и являются решениями уравнения (2.1).

Доказательство. Пусть ( ). Тогда , . Подставляя , и в уравнение (2.1), получаем

.

Так как ,то, сокращая на , имеем

.

Следовательно, если является корнем уравнения (2.2), то функция – решение уравнения (2.1). Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.

Теорема 2. Если корни характеристического уравнения действительные и различные , то общее решение уравнения (2.1) имеет вид

.

Если корни характеристического уравнения действительные и равные , то общее решение (2.1) имеет вид

.

Если корни характеристического уравнения комплексные и . , то общее решение имеет вид

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни , – действительные и различные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни , – действительные и равные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни и , – комплексные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (2.3)

где и – действительные числа, – непрерывная функция. Для решения этого уравнения воспользуемся теоремой о структуре решения неоднородного уравнения, в соответствии с которой общее решение неоднородного уравнения имеет вид

, (2.4)

где – общее решение соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (2.3).

Рассмотрим различные, особенно важные в естественных науках виды правой части уравнения (2.3).

1. Правая часть имеет вид , где . Тогда частное решение следует искать в виде , где – многочлен той степени, что и , – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

2.  . Тогда частное решение уравнения (2.3) следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных .

3.  , где , и – известные числа. Тогда частное решение следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных .

4.  , где и – многочлены -ой и -ой степеней соответственно. Тогда частное решение следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных , .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид , так как характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Найдём неизвестные коэффициенты и , вычислив , и подставив их вместе с в данное уравнение, получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .