64. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных вещественных корней характ-го уравнения. Линейная независимость решений.
ЛОДУ второго порядка:
(1)
Его характ-е уравнение
,
в зависимости от значения дискриминанта
,
может иметь вещественные различные
корни
(
.
Функции
, по самому способу их нахождения являются
решениями уравнения (1). Вронскиан этой
,
следовательно - это ФСР. И полученные
решения линейно независимы. Общее
решение уравнения (1) в данном случае
.
65.Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай совпадающих вещественных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
ЛОДУ второго порядка:
(1)
Его характ-е уравнение , в зависимости от значения дискриминанта ,
может иметь вещественные
совпадающие корни
.
Функция
,
как и в предыдущем случае, решение
уравнения (1). Докажем, что функция
тоже удовлетворяет уравнению:
Тогда, подставив, получаем
,
так как
-
корень характер-го уравнения:
,
.
Функции
- ФСР, т.к.
.
Следовательно решения линейно независимы.
Общее решение уравнения (1) в данном
случае
.
66. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
ЛОДУ второго порядка:
(1)
Его характ-е уравнение , в зависимости от значения дискриминанта ,
может иметь комплексные
корни. В этом случае
,
где
,
.
Мы должны доказать, что функции
удовлетворяют уравнению. Находим
,
подставляем в уравнение:
.
Рассмотрим по отдельности коэффициенты
при
и при
:
,
Итак,
т.е. функция
- действительно решение уравнения.
Аналогично доказывается, что и функция
- решение уравнения. Вронскиан этой
системы функций:
,
т.е. это - ФСР. И полученные решения
линейно независимы. Общее решение
уравнения (1) в данном случае:
.
67. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше первого. Неоднородное уравнение со специальной правой частью.
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами
, (1)
где pi,
i=
- числа, решается аналогично случаю
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения. Частные решения уравнения (1) также ищем в виде , где k- постоянное число.
Характеристическое уравнение для уравнения (1) имеет вид:
(2)
Уравнение (2) имеет, как
известно, n корней (в их
числе могут быть и комплексные). Обозначим
их через
.
I случай:
Все корни уравнения
(2) действительны и просты. Тогда функции
являются частными решениями уравнения
(1) и образуют ФСР. Поэтому общее решение
уравнения (1) записывается в виде:
II случай:
Все корни характерестического
уравнения действительные, но не все
простые (есть корни, имеющие кратность
m>1). Каждому простому
корню k соответствует
одно частное решения вида
,
а каждому корню k кратности
m>1 соответствует m
частных решений:
И общее решение записывается как сумма частных решений уравнения.