Лекція №2. Частинні похідні функції багатьох змінних. Диференційовність функції багатьох змінних.

1. Частинні похідні функції багатьох змінних

2. Диференційованість функції

1. Частинні похідні функції багатьох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів .

– частинні похідні по в точці .

Аналогічно частинна похідна функції по змінній визначається як границя і позначається одним із символів .

Правило знаходження частинних похідних

При знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Тому частинні похідні знаходяться за формулами і правилами обчислень похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі .

Геометричний зміст частинних похідних. Графіком функції є деяка поверхня (рис. 1). Графі­ком функції є лінія перетину цієї поверхні з площи­ною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, дістанемо, що , де – кут між віссю Ох і дотичною, проведеною до кривої в точці . Аналогічно

Рис. 1

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних , де ,

.

Щоб знайти частинну похідну , треба знайти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Приклад:

Знайти частинні похідні функції:

Якщо функція z = f (x, у) задана в області D і має частинні похідні , в усіх точках (х; у) D, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області D. Тому має сенс питання про іс­нування частинних похідних від цих функцій по якій-небудь змін­ній в точці (х; у) D.

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають .

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають .

Для функції двох змінних розглядають чотири похідні другого порядку .

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім:

.

Теорема (про мішані похідні)

Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , причому та неперервні в точці , то в цій точці .

Приклад. Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції .

2. Диференційовність функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :

.

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

,

де – дійсні числа, які не залежать від ,

– нескінченно малі функції при .

Властивості функції двох змінних:

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .

Теорема 3 (достатні умови диференційовності)

Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в точці .

Наслідок (з теореми 2 і теореми 3)

Щоб функція була диференційовною в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні похідні.