27. Связь полярных координат на поверхности эллипсоида и плоскости

Уравнения ( 7. 1 ) – ( 7. 4 ) при соответствующем выборе вида функций осуществляют связь между параметрическими координатами на поверхности эллипсоида и плоскости. Для геодезических проекций необходимо также иметь формулы, связывающие сфероидические и плоские полярные координаты.

Рис. 7. 3

На рис. 7.3 показано изображение геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции, длиной S и ее хорда d. Показаны также геодезический азимут А12 , дирекционный угол α12, поправка за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции. Q1k – касательная к кривой S в точке Q1. Несложно заметить уравнение связи дирекционного угла и азимута ( 7. 12 ) Формулы для вычисления сближения меридианов γ1 в точке Q1 получают из уравнений ( 7. 10 ). Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости δ12 получается по формулам дифференциальной геометрии и для малых длин может быть записана в виде

( 7. 13 )

где Г – кривизна кривой s , определяемая из уравнения Схольса

( 7. 14 )

Связь длины кривой S на плоскости с длиной геодезической линии эллипсоида s выражается интегралом

( 7. 15 )

Связь длины хорды d с длиной кривой S определяется уравнением дифференциальной геометрии

( 7. 16 )

Таким образом получены основные уравнения конформных геодезических проекций. Конкретный вид проекции, вообще говоря, определяется функциями ( 7. 3 ) – ( 7. 4 ), этот процесс может быть весьма трудоемким, но для конформных геодезических проекций можно определить более простой путь их выбора.

28. Характеристические уравнения геодезических проекций

Линейный элемент поверхности эллипсоида в функции геодезических координат имеет ранее полученное выражение ( 4. 6 ), которое преобразуется к изометрической форме следующим образом

( 7. 17 )

Здесь q – изометрическая широта, связанная с геодезической дифференциальным уравнением

( 7. 18 )

Интегрирование данного уравнения : ( 7. 19 )

Здесь приняли постоянную интегрирования, равной нулю, так как счет широт ведется от экватора.

Система плоских прямоугольных координат изометрическая. Линейный элемент на плоскости выражается уравнением

( 7. 20 )

Для конформных геодезических проекций запишем уравнения связи изометрических координат в прямом и обратном изображениях

( 7. 21 )

Учитывая,что в геодезических проекциях решается задача изображения сравнительно малых областей эллипсоида, для каждой из которых можно выбрать некоторые средние значения координат q₀ и L₀ на эллипсоиде, которым на плоскости будут соответствовать значения x₀ , y₀ , уравнения ( 7. 21 ) можно записать в виде

. ( 7. 22 )

Здесь L₀ – долгота осевого меридиана и, очевидно, будут иметь место уравнения

. ( 7. 23 )

Поскольку функции ( 7. 22 ) аналитические, а приращения координат q и l, x и y малые величины, их можно разложить в ряд по формуле Тейлора по степеням малых величин

( 7. 24 )

Но в геодезических проекциях выполняется условие, что осевой меридиан изображается прямой линией на плоскости, когда выполняются условия l = 0; y = 0. ( 7. 25 )

и для изображения осевого меридиана на плоскости будут иметь место уравнения

( 7. 26 ).

Где коэффициенты C_j – производные вида , а .

Обратимся к первому уравнению из ( 7. 26 ). Оно выражает длину изображения осевого меридиана на плоскости от точки с координатами x₀, y₀ ( начальной точки ) до текущей точки изображаемой области. При этом заметим, что эта длина выражается в виде разложения по степеням разности изометрической широты текущей и начальной точек, а также коэффициентов разложения, являющимися функциями широты начальной точки. Поэтому формулы ( 4. 24 ) и ( 7. 26 ) называют формулами, основанными на рядах с начальными аргументами.

Уравнения ( 7. 26 ) для различных проекций указанного класса будут отличаться только коэффициентами разложений, которые будут зависеть от вида функций ( 7. 21 ), описывающих проекции, поэтому назовем эти уравнения характеристическими уравнениями геодезических проекций.

В теории отображения поверхностей указывается на то, что все многообразие конформных отображений следует из аналитической функции комплексных переменных, связывающей изометрические координаты на обеих поверхностях (7. 3, 7. 4, 7. 21). Под изометрическими координатами на любой поверхности понимают такие, когда равным приращениям координат соответствуют равные линейные приращения вдоль координатных линий. Заметим, что в математике такая система координат называется изотермической, а в картографии и геодезии принято название изометрическая. Таким образом, необходимо установить изометрические координаты степени (q )^j, которые представляют собой малые убывающие величины при малых q. Для Республики Беларусь, например, В₀  54⁰ и cosB₀  3. 8  10⁶ м. Если размеры изображаемой в одной зоне области ограничить разностью широт и долгот

(q)_max  (L)_max  6⁰ 0.1,

а вычисления координат производить с точностью до 0. 001 м, что соответствует стандартам точности современных измерительных технологий, то в разложениях ( 7. 33 ) достаточно ограничиться восьмыми степенями разложений. При этом замечаем, что остаточный член в форме Лагранжа будет

 ₍₉₎ ( x, y )  ( 3.8  10⁶ ) ( 0.1 )⁹/9!  0.001м.