30. Звязнасць і лінейная звязнасць.

Тэарэма. Любая лінейна-звязная прастора (х,τ) есць звязная прастора.

Д-з. Х=аб’яднанне (хЄХ) S_x([0,1]),дзе S_x:([0,1]) →Х, якая злучае нейкі фіксаваны пункт х₀ і х, х₀,хЄХ. Любое мн-ва S_x([0,1]) есць звяз.падмноства Х, яе непарыўны вобраз звязн. адрэзка [0,1] у R¹(па Т.1) => Х зв. мн-ва, як аб’яднанне звязных мностваў, якія маюць агульны пункт.

Заувага1. Звязная пр-ра не абавязкова з’яўляецца лінейна-звязнай.

Вынік. Клас лінейна-звязных прастораў есць уласны падклас класа звязных прастораў.

Заувага 2. Замыканне лін-звязнага мноства не абавязкова лінейна-звязнае мноства.

Заувага 3. Магутнасць мноства камп. звязнай прасторы як і кампан. яе лін-зв.есць тапалагічны інварыянт.

Заувага 4.Не блытаць паняцці звяз. пр-ры, лін-звяз. і адназвязн.

Азн. Адназвязнай назыв. пр-ра(мн-ва) у якой(якім) любы замкнуты контур гаматопны 0.

31 И 32.Кампактныя пр-ры і мн-вы.

Азн. Адкр-м пакрыццем тапалаг. пр-ры (Х,т) наз. адвольная сукупнасць адкр-х у ей мн-вау,аб”яднанне якіх супадае з носьбітам пр-ры.

Азн.2. Тапалаг. пр-ра (Х,т) наз. кампактнай калі з усякага адкр-га яе пакрыцця можна выдяліць яе канечнае адкрытае пакрыцце, у гэтай сітуацыі апошняе наз. падпакрыццем.

Сцв.1. Уласців-ць пр-ры быць кампактнай есць яе тапалаг. ул-ць.

Напрыклад, адвольная канцоуная пр-ра (Х,т) не кампактная таму што у ей канечная кол-ць розных подмн-вау , менавіта два у ступені n, дзе n- кол-ць элементау.

Азн. Падмн-ва А тапалаг. пр-ры (Х,т) наз. кампактным у ей, калі падпр-ра (А,т~) з”яул. кампактнай пр-рай.

Азн. Адкр-ым пакрыццем падмн-ва А пр-ры (Х,т) наз. сукупнасць мн-вау , адкр-х у пр-ры (Х,т) , аб”яднанне якіх змяшчае мн-ва А.

Будем абазн. праз _A={V_β׀V_{β x},β }

Сцв.2. \крытэрый кампактнасці мн-ва у пр-ры\ . Падмн-ва А пр-ры (Х,т) з”яул. кампактным у ей т. і т. т.,калі з кожнага адкр. пакрыцця №№ мн-ва А можна выдяліць яе канечнае пакрыцце.

Напрыклад, адрэзак [0,1] – кампактнае у R мн-ва.

Заув. Уласцівасць кампактнасці – не спадчынная уласцівасць.

33*.Кампактнасць і замкнутасць.

Тэарэма 1.Няхай -кампактная прастора, калі , тады А кампактнае ў ёй мноства

Д

оказ. 1) Няхай X\ A ;

Х

А

2) ;

А

Х

3) -- ёсць адкрытае пакрыццё прасторы X.

4)Паколькі -кампактная прастора, з яго можна выбраць канечнае падпакрыццё прасторы X

=

5)Тады сукупнасць будзе, відавочна, канечным падпакрыццём мноства A, якое выдзелена з яго адвольным пакрыццём

Такім чынам A па крытэрыю ёсць кампактнае мноства у прасторы.

Тэарэма 2.Няхай -- хаўздорфава прастора. Калі A—кампактнае яе падмноства, тады A замкнутае ў ёй падмноства.

Тапалагічныя прасторы, якія з’яўляюцца адначасова кампактнымі і хаўздорфавымі, назыв. кампактамі.

Тэарэма 3.Няхай —кампакт.Падмноства A камп. у ім тады і толькі тады, калі яно замкнутае.

34*.

Тэарэма 1. Няхай – метрычная прастора. Калі А яе кампактнае падмонства, тады А – замкнутае і абмежаванае.

Доказ.

1) Паколькі метрычная прастора з’ яўляецца хауздорфавай, то замкнутае яе кампактнае падмноства вынікае з тэарэмы, што калі -- хауздорфава прастора, А – кампактнае яе падмноства, тады А – замкнутае ў ёй падмноства.

, a=const – сукупнасць канцэнтраваных адкрытых шароў з цэнтрам у пункце a A.

Паколькі А—кампактнае мноства, з яго пакрыццём , можна выбраць канечнае падпакрыццё

, тады, відавочна, мноства А будзе падмноства , =max .

Значыць А – абмежаванае мноства ў прасторы .