15. Степенной ряд. Т. Абеля. Радиус и интервал сходимости. Стр-ра области сходимости.

Степенной ряд – функцион-й ряд (бескон сумма, слагаемые кот явл-ся ф-циями) с общим членом u_n(х)=c_nxⁿ, где c_n - конст-та. Нумерация членов ряда начин-ся с n=0. T.O. мы получаем ряд вида: c₀+ с₁х+с₂х²+ …+ с_nxⁿ + …(1)

Т. Абеля. Если ряд (1) сходится при х=х₀, х₀≠0, то он абсолютно сходится при любых значениях х, удовлетворяет нерав-ву |х|˂|х₀|, хϵ(-|х₀|;|х₀|).

Пусть сущ-т , тогда этот предел дает значение радиусв сходимости: R= (2). Если предположить, что существует lim , тогда для радиуса сходимости справ-ва формула .При исследовании ряда на сход-ть на концах интервала полезно использовать след законом-ть, пусть _un(х)=c_nxⁿ, тогда: 1) u_n(-R) не стрем-ся к 0 равносильно u_n(R) не стрем-ся к 0. Невыполнение условия сходимости на одном из концов интервала сход-ти влечет то же самое на др конце. 2) Если на одном из концов ряда имеется абсол сход-ть, то и на др конце абсол сход-ть имеется.

16. Определение и сходимость ряда Маклорена.

Если х₀=0, то ряд Тейлора назыв-ся рядом Маклорена, и ф-ла Маклорена примет вид: f(h)=f(x₀)+(1/1!)f'(0)h+…+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(0)hⁿ. Вместо буквы h можно вставить х. Для получения общего вида ф-лы Маклорена можно исследовать остаточн член . C лежит м-ду 0 и х. Тогда общ вид ф-лы Маклорена: f(x) = f(0)+(1/1!)f’(0)x+…+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ+Q_n (x). Если Q_n (x) → 0 при любом х, то ряд сходится при любом х, его интервал сходимости (-∞; +∞).

17. Ряды Маклорена функций ех, sin X, cos X.

Возьмем ф-цию f(x)= е^х. Она имеет бесконечное число производных f’(x)= е^х, f’’(x)= е^х, …., fⁿ(x)= е^х. f(0)= 1, f’(0)=1, f’’(0)=1, …, f⁽ⁿ⁾ (0)=1. f(x)=1+(1/1!)x+(1/2!)x²+..+(1/n!)xⁿ+Q_n(x). . Зафиксируем значение х, тогда с=конст-та. Пусть n→∞. (факториал сильнее показательной). Это имеет место при любом х (получили разложение е^х в ряд Маклорена). Исследовать ряд, стоящий в правой части, на сход-ть нет необходимости. Q_n (x) → 0 при любом х, то ряд сходится при любом х, его интервал сходимости (-∞; +∞).

f(x)=cosx, f’(x)= -sinx, f’’(x)= -cosx, f’’’(x)=sin(x), f^IV(x) ⁼ cosx. f(0)=1, f’(0)=1, f’’(0)=0, f’’’(0)= -1, f^IV (0)=1. Запишем ф-лу Маклорена: cosx=1-(1/2!)x²+(1/4!)x⁴-(1/6!)x⁶+..+((-1)^m/2m!)x^2m+Q_2m+1(x). . f^(2m+2)(x)=(-1)^m+1cos x. . Пусть n →∞, n =2m+1 => m→∞. cos x=1-(1/2!)x²+(1/4!)x⁴+…+ +… Ф-ла справ-ва при любом х => интервалом сход-ти явл-ся вся числов прямая.

f(x)=sin x, f’(x)=cos x, f’’(x)= - sinx, f’’’(x)= - cosx, f⁴(x)= sinx. f(0)=0, f’(0)=1, f’’(0)=0, f’’’(0)= -1, f⁴(0)=0. Sinx=(1/1!)x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵+…+ + Q_2m+2 (x). Q_2m+2(x)= coscx^2m+3. m→∞. Sinx=(1/1!)x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵+…+ .

27.Дискретная св, ряд распределения, свойства функции распределения

ДСВ определяется тем условием, что существуют числа х1...хn (до бесконечности), для которых f(ξ=x_i)>0 и p(ξ=x_i)+...+p(ξ=x_n)=1. множество, состоящее из изолированных точек - дискретное. СВ называется дискретной, если множество ее значений дискретное. Закон распределения ДСВ удобно описывать таблицей, в которой оказываются возможные значения СВ и вероятности этих возможных значений. (p(ξ=x_i)=p_i). Ряд распределения СВ:

Свойства функции распределения (F_ξ(x)=p(ξ<x)): 1).F(-∞)=0. 2).F(+∞)=1. 3).F(x) возрастает. 4).F(x) непрерывна слева.