2. Геометрические вероятности

Это понятие касается следующего класса задач. Представим себе, что на плоскости расположены две области и , причем область целиком распложена в области . Их площади, соответственно, равны и . В область наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт также и в область ?

Если предположить, что точка может попасть в любую часть области , а вероятность попадания в область пропорциональна лишь её площади и не зависит ни от расположения , ни от её формы, то искомая вероятность равна:

.

Это и есть так называемое «правило нахождения геометрической вероятности»[7].

Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки:

1) в объёмную область величиной , содержащуюся в объёмной области величиной , если точка брошена наугад в объём :

;

2) на отрезок величиной , расположенный на отрезке величиной , если точка брошена наугад на отрезок :

.

________________________

Пример. Круглый диск радиуса разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу . По быстро вращающемуся диску произведён выстрел. Цель поражена. Найти вероятность того, что попали в заштрихованную часть.

Решение. Идеология решения задачи проста. Пусть событие есть событие, состоящее в том, что попали именно в заштрихованную часть. Тогда искомая вероятность равна , где - площадь заштрихованной части, - площадь круга ( ).

Проблема лишь в том, как найти площадь заштрихованной части. Но относится к также, как длина дуги заштрихованной части ( ) относится к длине круга ( ): , что и требовалось найти.

___________________________________________

Пример. Задача Бюффона (или задача об игле). [7]. Пусть на плоскость, разлинованную параллельными линиями с расстоянием , наудачу брошен отрезок (игла) длиной . Какова вероятность пересечения линии иглой?

Событие состоит в пересечении линии на плоскости. Игла пересекает только одну линию в силу ограничения , или не пересекает ни одной. Пусть - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, а - угол наклона иглы к линиям. Тогда множество всех равновозможных событий , а множество всех благоприятствующих исходов для события и оба эти множества изображены ниже на рисунке. Вероятность события вычисляется как геометрическая:

, , .

Рис 2.3. Иллюстрация к задаче Бюфона

4. Теорема сложения вероятностей событий

Начнем с геометрической иллюстрации. Пусть рассматривается геометрическая вероятность в случае (плоский случай). Событие состоит в том, что бросаем точку на часть плоскости и попадаем в фигуру , а событие - попадаем в фигуру (см. рис. 3.2). Найдем вероятность того, что бросаем точку в область и попадаем в фигуру , затемненную на рисунке фигуру. Эта фигура соответствует событию, состоящему в наступлении или события или события , т.е. события .

Рис. 3.2. Иллюстрация к теореме сложения вероятностей

В силу геометрической вероятности эта вероятность равна:

,

где - площадь фигуры , а - площадь области . Осталось найти площадь . Она равна:

,

где - площадь фигуры , - площадь фигуры , - площадь общей части фигур и , «забитой» на рис. 3.2 пятнами. Тогда:

,

где по определению геометрической вероятности:

вероятность события ,

вероятность события ,

вероятность события .

Тем самым, мы приходим к равенству

,

которое и составляет содержание теоремы о сложении вероятностей совместных событий, но доказательство её в общем случае гораздо сложнее и его мы оставляем без внимания.

Теорема о сложении вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных событий и равна:

.

Здесь слова «вероятность совместных событий» имеют принципиальное значение, т.к. для несовместных событий получается несколько иная теорема. Разберёмся в этом. Для несовместных событий и основным свойством является равенство (они вместе произойти не могут):

.

Поэтому теорема переписывается в следующем виде.

Теорема о сложении вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий и равна:

.

___________________________________________

Пример. «Не кладите все яйца в одну корзину.»

В два банка положены деньги (слава Богу, что некто догадался, что именно в «два»). Банки работают независимо друг от друга (часто встречающаяся ситуация). Вероятность разорения первого банка равна , а второго - . Какова вероятность того, что деньги сохранятся хотя бы в одном из банков.

Решение. Чтобы решить вероятностную задачу, главное, ввести правильные обозначения. Попробуем ввести следующие события.

- деньги взяты из первого банка,

- деньги взяты из первого банка.

Тогда событие означает, что деньги взяты либо из первого банка, либо из второго банка, либо из обоих банков сразу (вам очень повезло). А найти нужно именно вероятность этого события . По формуле сложения вероятностей совместных событий получаем:

.

Вероятность того, что первый банк останется «на плаву», составляет с вероятностью того, что первый банк разорится, в сумме (т.к. событие есть достоверное событие). Поэтому:

.

Аналогично найдем

.

А вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей , как произведение независимых событий. Поэтому:

.

То есть искомая вероятность получается больше вероятностей и , а, значит, права пословица!