1 19(1) . Условная вероятность события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимость событий (попарная и в совокупности). Примеры. Условная вероятность

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события относительно события и обозначается: P(A/B).

Условную вероятность можно рассматривать как вероятностный вес события среди событий . Полученный результат можно записать:

Это равенство представляет собой теорему умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое имело место. А вероятность произведения нескольких событий равна произведению их условных вероятностей при условии, что все предыдущие имели место:

Независимость событий

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло ли событие :

Свойство независимости событий и взаимно, т. е. если: то и:

Для независ. событий теорема произведения вероятностей имеет вид:

Понятие независимости, определённое для двух событий A и B, может быть обобщено на случай n событий :

Первое равенство означает попарную независимость событий. Второе – тройную независимость и т.д. Последнее равенство – независимость для n событий. Выполнение равенств для всех различных сочетаний событий называется независимостью в совокупности.

Пример: Попарной независимости может оказаться недостаточно для независимости событий в совокупности.В урне лежат 4 шара с номерами 1,2,3 и 123. Пусть событие заключается в том, что на вынутом шаре окажется цифра 1 (соответственно, 2 и 3).

События попарно независимы, т.к.:

Н

19(2)

о события не будут независимы в совокупности, т.к.:

Формула полной вероятности

Пусть - попарно несовместные события ,

т.е. .

Причём события тоже будут попарно несовместными.

Тогда согласно теореме сложения и умножения вероятностей:

Это равенство носит название формулы полной вероятности. Если же - не только попарно – несовместные, но и образуют полную группу событий, т.е.:

,

то такие события носят название гипотезы – события и обозначаются . А формула полной вероятности в этом случае имеет вид:

Вероятность Р(H_i) гипотезы H_i (i = 1,…,n), вычисленная безотносительно к событию В, называется априорной вероятностью (a priori). Условная вероятность Р(H_iB) гипотезы H_i (i = 1,…,n), вычисленная в предположении, что событие В осуществилось, называется апостериорной вероятностью (a posteriori).

Пример:

Пусть фирма проводит рекламу своих товаров по трём каналам:

1.развешивает объявления на досках информации; 2.реклама в газете; 3.реклама на телевидении. События:

• - информация не попала к крупному заказчику ни с одного из каналов:

• - информация попала с какого-то только одного канала:

• - информация попала только с 2-х каналов:

• - информация попала со всех 3-х каналов:

События - попарно - несовместные и образуют разбиение множества _Ω, т.е.:

19(3)

Пусть событие B - заказ от крупного заказчика, причём известно, что:

тогда по формуле полной вероятности: