50.Определение и свойства собственных векторов.

Определение. Ненулевой вектор линейного пространства V над полем P называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число P, что

= . (4.41)

Число из равенства (4.41) называется собственным значением оператора f, соответствующим собственному вектору .

Очевидно, все векторы линейного пространства являются собственными векторами нулевого оператора с собственным значением, равным 0, они же являются собственными векторами тождественного оператора с собственным значением, равным 1. Оператор проектирования трехмерного пространства на ось Оx имеет следующие собственные векторы: параллельные оси Оx – собственные с собственным значением, равным 1, а векторы, перпендикулярные оси Оx, – собственные с собственным значением, равным 0. При любом функция является собственным вектором (или собственной функцией) оператора дифференцирования , причем собственное значение равно .

Свойства собственных векторов

1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.

3º. Множество всех собственных векторов линейного оператора с одним и тем же собственным значением вместе с нулевым вектором является подпространством линейного пространства V.

4º. Пусть – линейный оператор, – его различные собственные значения. Обозначим

и .

Тогда в существует линейно независимых собственных векторов оператора .

51.. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

§ 13. Правило нахождения собственных векторов

Пусть – линейный оператор. Выберем в какой-либо базис и обозначимА матрицу оператора в этом базисе. Если Х – координатный столбец собственного вектора в заданном базисе, а – соответствующее ему собственное значение, то (4.41)равносильно равенству , которое, в свою очередь, равносильно следующему:

. (4.47)

Равенство (4.47) можно рассматривать как матричную запись однородной системы линейных уравнений, причем нас интересуют только ее нетривиальные решения. Как следует из § 5 главы 2, для существования таковых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (4.48)

Определение.Характеристическим многочленом матрицыА называется многочлен , уравнение (4.48) называется характеристическим уравнением матрицы А, а корни этого уравнения – ее характеристическими числами.