10.Теорема о свойствах интеграла Римана, выражаемых неравенствами.

EcR^k – допустим. мн-во.

1) Если f(x) интегрир на Е, то |f(x)| также интегрир на Е и имеем место нер-во | | ≤ 2) Если f(x) интегрир на Е и f(x)≥0 для всех x из Е то ≥0. 3) Если Если f(x) и g(x) интегрир на Е и для всех x из Е вып-ся: f(x)≤g(x) то ≤ . Д-во: Из того, что f(x) интегрир на Е согласно критерия Лебега имеем, что она непрер почти всюду на Е, значит и |f(x)| непр. почти всюду на E => |f(x)| интегрир. по Р на E. Далее, пусть J E. | | = | | = | | = = ≤ = 2) Пусть J E и P-любое разб-е J. тогда если f(x)≥0 то и σ(P,f,χ)≥0, а значит и = ≥0. 3) Рассмотрим g(x) – f(x). это выр-е ≥0 по усл-ю для всех x из Е. Применим св-во 2 и получим необх. рез-т.

11. Теорема о среднем для кратного интеграла.

ТРМ: Пусть заданы f(x): R^k -> R и g(x): R^k -> R. E – допустим. мн-во. Тогда 1) Если f(x) и g(x) интегрир. и g(x) – знакопост. (пусть для опред-ти g(x)≥0) и m≤f(x)≤M тогда сущ-ет такое m≤µ≤M что вып-ся 2) E – допустим. и связное и f(x) . Тогда сущ-ет ξ из Е такая, что выполняется: . Д-во: 1)из условия интегрир-ти по Р f(x) и g(x) следует что и f(x)*g(x) также интегр. на Е. В самом деле, согласно критерия Лебега, для любых f(x) и g(x) множ-во точек разрыва имеет меру 0. Тогда и [f(x)*f(x)] имеет мн-во точек разрыва меры 0, значит [f(x)*f(x)] интегрир. на допустимом мн-ве E. Умножим нер-во m≤f(x)≤M на g(x)≥0. Имеем mg(x)≤f(x)*g(x)≤Mg(x). Используя св-ва инт-в имеем: ≤ ≤ . Т.к. g(x)≥0 то и ≥0. Если =0 тогда в качестве µ подойдет любое число из [m,M] и трм. доказ. Если >0; Разделим: m≤ / ≤M и за µ возьмем / . Трм. доказ. 2) Поскольку f(x) непрерывна на E по условию, то она 1)интегрир. по Р на Е и 2)в силу 1й и 2й трм Вейерштрасса о непрер. ф-циях мыв получим что m≤f(x)≤M, где m=inf f(x), M=supr f(x), x E. и по 2й трм. Вейерштрасса эти знач-я достиг-ся, т.е. m=f(x₁), M=f(x₂). если в предыдущем пункте положить g(x)≡1 для x E, имеем . В силу 2й трм Вейерштр, . тогда получаем, что , чтд.

12. Теорема о повторном интегрировании для двойного интеграла.

ТРМ: Пусть J = {(x₁, x₂)| a≤x₁≤b, c≤x₂≤d} – промежуток в R² и ф-ция f(x):(J R²)->R интегрир. по Р. на этом промежутке и тогда справедливо: = Д-во: Введем Ф(x₁), удовл-ю нер-вам: Произведем разб-е P₁ отрезка [a,b] на n равных промежутков точками: a=x₁⁰<x₁¹<x₁²<x₁³<...<x₁ⁿ=b. Δx₁ⁱ=x₁ⁱ-x₁^i-1 = (b-a)\n = h. Возьмем разб-е P₂: c=x₂⁰<x₂¹<x₂²<x₂³<...<x₂ⁿ=d, Δx₂ⁱ=x₂ⁱ-x₂^i-1 = (d-c)\n = k. Причем понятно, что h и k стремятся к 0 при n->+ ; сущ-т при ; Составим S и s. Имеем s(P₂,f)≤Ф(x₁) ≤S(P₂,f); P=P₁xP₂; s(P,f)≤∑Ф(ξ_i)Δx₁ⁱ ≤S(P,f); Перейдем к пределу. В виду существования двойного интеграла, обе суммы будут стермится к нему, а значит и lim∑Ф(ξ_i)Δx₁ⁱ -> ; Т.е. двойной интеграл представляет собой и интеграл от ф-ции Ф(x₁): = = чтд.