14.Первісна та невизначений інтеграл

Властивості невизначеного інтеграла

Функція f(x) зветься первісною функції

f(x) на деякому інтервалі дійсних чисел,

якщо f(x) похідна функції F(x) на цьому

інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точк

ах інтервалу виконується рівність

Похідна невизначеного інтегралу рівна

підінтегральній функції; диференціал

невизначеного інтегралу рівний підінте

гральному виразу

( \f(x)dx)'=f(x); d \f(x)dx=f[x)dx.

Невизначений інтеграл від диференціалу

функції рівний цій функції:F(x) =F(x)+C

Постійний множник можна винести за

знак інтегралу: Af(x)dx = A \f(x)dx

Невизначений інтеграл від алгебраїчної

суми функції рівний такій самій

алгебраїчній сумі невизначених інтегра

лів від кожної функції:

[(/і(х) + f2{x))dx= \fi(x)dx + \f2(x)cbc.

Якщо функціяF(x) єпервісною ддя/(х),

декіЬ довільні числа (кФ 0), то F(kx + b)

15.Методи інтегрування.Інтегру частинами

Безпосереднє інтегрування,Метод підстановки

(заміни змінної),Інтегрування раціональних

дробів. інтегрування частинами -Цей метод

застосовується тоді, коли під інтегралом є

добуток функцій, причому хоча би одна з них

не степеневою.

16.Інтегрвання раціон,іраці,тригон.Фун-й

Інтегрування довільного раціонального дробу

З дійсними кое

фіцієнтами в загальному випадку проводиться

таким чином.

1) Якщо m>= n, тобто дріб неправильний,

то слід спочатку виділити цілу частину, подав

ши його у вигляді

де i - многочлени степе

нів m-n 0 і r відповідно, причому r < n, тобто

дріб правильний.

Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду

Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Інтеграли вигляду

17.Означення та властивості визнач.Інтеграла

Визначений інтеграл — інтеграл функції з вказа-

ною областю інтегрування. Визначений інтеграл

є неперервним функціоналом, лінійним по під-

інтегральним функціям і адитивним по області

інтегрування. У найпростішому випадку область

інтегрування — це відрізок числової осі. Геомет-

ричний смисл цього визначеного інтеграла — це

площа криволінійної фігури, обмеженої віссю

абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і

кривою графіка функції.

Визначений інтеграл з однаковими межами інтег-

рування дорівнює нулю:

Від переставлення меж інтегрування

інтеграл змінює знак на протилежний:

Якщо функція f(x) інтегрована

на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b],

то справедлива рівність

18. Методи обчислення визначеного інтеграла

Формула Ньютона-Лейбніца

Метод Сімпсона,прямокутників,трапецій

21.Озаки збіжності Даламбера,коші,інтегральна ознака.

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів:

Якщо для числового ряда 1

існує таке число , , що починаючи з деякого номера

Викону ється нерівність то даний ряд

абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера

то ряд розбігається.Зокрема, якщо існує грани

Ця то ряд, що розглядається, абсолютно

збіжний якщо , а якщо — розбіжний (ознака збіжності

Д’Аламбера у граничній формі).

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда з невід'ємними членами

існує таке число , , що, починаючи з деякого номера, викону

ється нерівність то даний ряд збігається.