1.9.Центр параллельных сил и центр тяжести.

1.9.1. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.

Пусть даны две параллельные силы  и , направленные в одну сторону и приложенные к точкам  и  (рис.34).

 

Конечно, величина их равнодейст­вующей . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона най­дём точку приложения равнодействую­щей – точку С. По этой теореме  

Значит

Отсюда  То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками  и  на части обратно пропорцио­нальные силам.

Если параллельные силы направ­лены в противоположные стороны (рис.35), то аналогично можно дока­зать, что равнодействующая по вели­чине будет равна разности сил:  (если ), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам:

Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей располо­жена на одной прямой с точками  и , точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, рав­нодействующая также повернётся вокруг точки приложе­ния С в том же направлении, и останется параллельной им.

Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.

Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии дей­ствия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия.

Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.

Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой

,                                           

где  - радиусы-векторы точек приложения сил; – вели­чина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).

Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проек­ции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. По­этому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим

                                          

где  – координаты точек приложения сил.

1.9.2. Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой.

а) общий случай

 - интенсивность распределенной силы  [Н/м],

 - элементарная сила.

 – длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности  эквивалентна сосредоточенной силе  . 

Сосредоточенная сила прикладывается в точке  С  (центре параллельных сил)  с координатой

б) постоянная интенсивность

в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону

.

1.9.3.Центр тяжести тел.

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, дей­ствуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется цен­тром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

                

где  – вес каждой точки тела, а – вес всего тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоско­сти.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами  можно отыскать точку с координатами . И координата  по (2), бу­дет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симмет­рии, для каждой точки с координатами  можно отыскать точку с координатами  и координаты  и , вычисленные по фор­мулам (2), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2)  – определять как вес соответствующей части и  – как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а  - объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,

 

И аналогично,    где - объём всего тела.

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины  где  – площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с по­мощью площадей:

где  – координаты центра тяжести отдельных пластин;  – общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или кри­волинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их  где l_i – длина,  – вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:

где  – координаты центра тяжести -го участка;

Отметим, что согласно определению центр тя­жести - это точка геометрическая; она может лежать и вне преде­лов данного тела (например, для кольца).

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

                     

где  - вес единицы объема тела (удельный вес)

 -  вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

 

           

где  - вес единицы  площади тела,            

 -  вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

 

          

где - вес единицы  длины тела ,

-  вес всего тела.

 

Координаты центров тяжести однородных тел.

Для однородного тела вес  любой его части пропорционален объему  этой части: , а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела , где  - вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и  в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе  как общий множитель выносится за скобку и со­кращается с  в знаменателе. В результате получим:

    

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины  не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело пред­ставляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

 

где S - площадь всей пластины, a - площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тя­жести линии:

    

где L — длина всей линии, l — длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

1.9.4.Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул,  можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

 

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

 

 

.

3. Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

 

               

.

 

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox.

Найдем координату  по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

                

где угол  измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Разобьем площадь треуголь­ника ABD прямыми, параллель­ными AD, на  узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Следовательно, и центр тяжести всего тре­угольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

 При этом, как известно,

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом  . Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа , эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОAB будет со­впадать с центром тяжести дуги DE. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра О, равном