10.3. Определение надежности сложной восстанавливаемой системы

Для сокращения записи будем считать, что система состоит из общего числа m устройств (ранее всегда было (m+1), каждое из которых находится под действием потока отказов (неисправностей) с интенсивностью . При отказе устройства оно немедленно начинает восстанавливаться, остальные устройства при этом продолжают работать, обеспечивая рабочее состояние системы. Интенсивность потока восстановлений устройства (независимо от числа одновременно восстанавливаемых устройств) равна .

Требуется определить:

вероятность P(t) того, что в момент времени t все устройства будут исправными;

предельную вероятность того же события;

среднее число исправных устройств при t  .

Решение поставленной задачи требует составления размеченного графа состояний (рис. 10.7).

Состояния системы будем нумеровать по числу неисправных устройств:

S₀ –– все устройства исправны;

S₁ –– одно устройство ремонтируется, остальные исправны;

……………………………………………………………………..

S_k –– k устройств ремонтируются, m-k –– исправны;

……………………………………………………………………..

S _m –– все m устройств находятся в ремонте.

Рис. 10.7. Размеченный граф сложной технической системы

Для рассматриваемого графа система дифференциальных уравнений имеет вид:

(10.17) Плюс условие:

(10.18) Вероятность P(t) того, что все элементы в момент t будут исправны, есть не что иное, как вероятность P₀(t), которую получим, интегрируя представленную систему дифференциальных уравнений при следующих начальных условиях:

При t = 0, P₁(0)=P₂(0)=…=P_m(0)=0; Р₀(0)=1.

Предельные вероятности состояний находим по аналогии с решением, приведенным в разделе 2 (системы массового обслуживания), полагая :

(10.19) Искомая предельная вероятность того, что в установившемся режиме при стремлении величины t к бесконечности все устройства сохранят работоспособность, и будет определяться выражением (10.19), т.е. Р=Р₀.

Среднее число исправно работающих устройств будет равно числу устройств m, умноженному на вероятность того, что отдельно взятое устройство исправно. Эта вероятность (при t) равна:

(10.20) откуда, среднее число исправно работающих устройств равно:

(10.21) Рассмотренные задачи и примеры показывают, что аппарат, применяемый для анализа надежности технических систем весьма совпадает с аппаратом теории массового обслуживания, и исследование процессов, протекающих в системах с отказывающими устройствами, при определенных условиях может быть проведено методами непрерывных марковских цепей. Для этого необходимо, чтобы потоки событий, переводящие устройства из состояния в состояние, были хотя бы приближенно пуассоновскими. Эти потоки не обязательно должны быть стационарными, но такими, чтобы интенсивности потоков событий не зависели от случайных моментов переходов системы из одного состояния в другое.

На основании методов исследования систем массового обслуживания разработаны практические алгоритмы оценки различных технических систем с восстановлением [15].