5. Предельные теоремы

5.1. Закон больших чисел

Под законом больших чисел понимается совокупность теорем, устанавливающих условия приближения среднего арифметического большого числа случайных величин к некоторым неслучайным величинам.

Приведём сначала одно важное утверждение, используемое при доказательстве закона больших чисел.

Неравенство Чебышёва. Если СВ Х имеет математическое ожидание m и дисперсию D, то для любого справедливо неравенство

.

Доказательство проведём для случая дискретной СВ Х. Поскольку события , попарно несовместны, то . Для дисперсии СВ Х имеем

,

откуда вытекает требуемое неравенство.

Рассмотрим, далее, две формулировки закона больших чисел.

Теорема Чебышёва. Если – независимые СВ, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией D, то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по вероятности к константе m, т.е. для любого имеет место .

Доказательство. В силу независимости СВ и свойств математического ожидания и дисперсии

и ,

поэтому неравенство Чебышёва для СВ при произвольном имеет вид . Правая часть при увеличении n стремится к нулю, откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых измерений СВ Х среднее арифметическое результатов измерений почти всегда лишь мало отличается от её математического ожидания. Действительно, если – случайные величины, соответствующие результатам n независимых измерений СВ Х, то они независимы и имеют тот же закон распределения и те же числовые характеристики, что и СВ Х, а значит, к ним применима теорема Чебышёва.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р, то при неограниченном увеличении n частота сходится по вероятности к константе p, т.е. для любого имеет место .

Доказательство. Обозначим через число появлений события А в i-м испытании. Очевидно, – дискретные СВ с возможными значениями 0 и 1, при этом , , . В силу независимости испытаний, СВ независимы, при этом , , и Применяя теорему Чебышёва к СВ , получим утверждение теоремы Бернулли.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых испытаний частота события почти всегда лишь мало отличается от его вероятности.

5.2. Центральная предельная теорема

Под центральной предельной теоремой понимается совокупность теорем, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Приведём три формулировки центральной предельной теоремы.

Теорема Ляпунова. Если – независимые СВ, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением , то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к СВ , т.е. для любого имеет место , где – функция распределения СВ , – функция Лапласа.

Замечание. Из данной теоремы следует, что для любого при больших n имеет место

,

т.е. закон распределения СВ с увеличением n приближается к . Аналогичным образом можно показать, что закон распределения СВ с увеличением n приближается к . Это означает, что при большом числе независимых измерений СВ Х закон распределения суммы и среднего арифметического результатов измерений близок к нормальному. Измеряемая СВ может быть как непрерывной, так и дискретной, поскольку под близостью законов понимается близость значений функций распределения.

Интегральная теорема Лапласа. Пусть – случайное число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие происходит с одинаковой вероятностью . Тогда при достаточно большом n и имеет место приближённое равенство

,

где – функция Лапласа, , и .

Локальная теорема Лапласа. Пусть – случайное число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие происходит с одинаковой вероятностью . Тогда при достаточно большом n и , имеет место приближённое равенство

,

где – функция Гаусса, и .