Модифицированные цилиндрические функции.

- модифицированное уравнение Бесселя

т.е. от модифицированного уравнения Бесселя можно перейти к обычному уравнению с мнимым аргументом .

Поведение модифицированной функции Бесселя при больших значениях аргумента.

Рисунок

- функция Макдональда

Особенностью функции Макдональда является то, что в нуле она стремится к бесконечности.

- функция Ханкеля I рода

Рисунок

Задача Штурма-Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями

,

– ограничена

Замена переменных:

Полученное выражение – уравнение Бесселя, где . Таким образом, решения этого уравнения – цилиндрические функции с индексом 0:

– из требования ограниченности в нуле.

Полученные функции являются ортогональными на промежутке с весом .

, тогда:

Проинтегрируем по на промежутке :

Отсюда:

Таким образом, функция ортогональна с весом . Вычислим норму:

;

;

;

Неопределённость раскрывается по правилу Лопиталя – отношение производных:

Таким образом:

;

Граничное условие:

Эти решения ортогональны:

Умножим обе части этого выражения на и проинтегрируем по на промежутке :

Примеры задач, разрешимых при помощи цилиндрических функций

I Задачи Дирихле для цилиндра.

;

;

;

;

;

;

; ;

I.

;

Полученное выражение – уравнение для нахождения собственных значений

Пример:

Найти стационарное распределение температуры в цилиндре, у которого нижний торец поддерживается при температуре , а остальная поверхность – при 0°К.

; ;

Таким образом:

Корни уравнения :

,

II. ; ;

- cобственные функции

,

;

:

(*)

– модифицированное уравнение Бесселя.

Поэтому решением уравнения (*) являются модифицированные функции от функции Бесселя и функция Макдональда:

;

II Задача о колебаниях круглой мембраны.

; ; .

:

Пусть ;

; , тогда:

, т.к. ,

поэтому:

Таким образом:

,

где – корни уравнения

III Задача Дирихле для полупространства (случай симметрии вращения).

, – ограничены;

Отсюда следует, что – вещественное – .

, где

,

Это выражение – интеграл Фурье-Бесселя (Ханкеля).

Пусть ; .

Тогда:

Пример:

Найти стационарное распределение температуры:

Рассмотрим поведение температуры вдоль оси (т.е. при ):

;

Рассмотрим интеграл:

Итак:

Цилиндрические функции

;

Общее решение:

Цилиндрические волны (осевая симметрия)

(*)

Рассмотрим частный случай классического решения в виде:

Подставим это выражение в уравнение (*):

,

тогда:

– уравнение Бесселя с нулевым индексом.

– уравнение Бесселя при

Общее решение:

Полученное выражение описывает стоячие волны.

Пусть .

;

,

Пусть .

– выражение для сходящейся волны.