2. Скорость фильтрации. Линейный закон фильтрации

Так как грунты в целом характеризуются неупорядоченным, случайным расположением частиц и случайным характером порового пространства, то применение теоретического или экспериментального подхода к описанию движения жидкости для конкретных поровых «каналов» или их совокупности невозможно. Поэтому принимают осредненные по площади скорости.

При изучении фильтрации считаем, что пористое тело и жидкость образуют сплошную среду. Тогда, рассматривая площади, значительно превосходящие размеры частиц грунта, можно считать, что грунтовый поток сплошным образом заполняет все пространство пористой среды.

Введем понятие скорость фильтрации:

(15.3)

где Q – расход, проходящий через сечение грунта площадью . При этом напомним, что [ – часть площади , занятая минеральной составляющей грунта (скелетом)].

Действительные скорости просачивания через поры больше, чем скорость фильтрации, в 1/т раз.

Отметим, что произведение скорости фильтрации и на площадь сечения потока равно расходу, действительно протекающему через рас­сматриваемое сечение.

Скорость фильтрации считается непрерывной функцией координат (и времени, если движение неустановившееся).

Движение жидкости в грунтах происходит при наличии очень больших сопротивлений в виде малых размеров поровых каналов, их извилистости, неправильной формы, наличия большой шероховатости и ряда других факторов, что значительно снижает скорость фильтрации. В связи с этим в грунтовом потоке принимают, что гидродинамический напор Н равен пьезометрическому напору , то есть пренебрегают скоростным напором.

Тогда удельная энергия потока (напор):

В результате изучения движения воды в песчаных фильтрах Дарси установил, что скорость фильтрации линейно зависит от гидравлического уклона равна:

, (15.4)

где – коэффициент фильтрации.

Выражение (15.4) называют законом Дарси, или линейным законом фильтрации. При выполнении равенства (15.4) потери напора пропорциональны первой степени скорости фильтрации, то есть режим движения – ламинарный.

Учитывая, что , получаем:

(15.5)

Напомним, что При линейном уменьшении напора по длине имеем:

3. Коэффициент фильтрации

Коэффициент фильтрации равен скорости фильтрации при Он зависит от свойств пористой среды (формы, размеров, взаимного расположения шероховатости частиц), засоленности грунта и вязкости жидкости (а, следовательно, от ее температуры). Коэффициент фильтрации может изменяться под воздействием электрического и магнитного полей.

Таблица 15.2

Грунты	k, м/сут
Глина	0,001
Суглинок тяжелый	0,05
Суглинок легкий	0,05 – 0,1
Супесь	0,1 – 0,5
Лесс	0,25 – 0,5
Песок пылеватый	0,5 – 1,0
Песок мелкозернистый	1 – 5
Песок среднезернистый	5 – 20
Песок крупнозернистый	20 – 50
Гравий	20 – 150
Галечник	100 – 500
Крупный галечник без песчаного заполнителя	500 – 1000 и более

Свойство пористой среды пропускать через себя жидкость, газ или газожидкостную смесь под действием приложенного перепада давления, называется проницаемостью. Проницаемость оценивается коэффициентом проницаемости, который зависит не от свойств жидкости, а только от свойств грунта и измеряется в тех же единицах, что и площадь.

Коэффициент проницаемости может быть представлен в виде:

(15.6)

где т – пористость;

d – так называемый, эффективный диаметр частиц ( ).

Широко распространенной единицей проницаемости является дарси, 1 дарси = 1,20 ∙ 10^-12 м².

Коэффициенты фильтрации k и проницаемости k_п связаны между собой отношением:

где – кинематическая вязкость жидкости.

Для воды 1 дарси соответствует примерно k = 1 м/сут ≈ 0,001 см/с.

Формулу Дарси можно представить также в виде:

(15.7)

Введение коэффициента проницаемости важно при рассмотрении движения воды в смеси с нефтью, газом или фильтрации нефти и т.п.

При оценке фильтрационных свойств грунтов, через которые движется вода, достаточно использовать только коэффициент фильтрации.

Коэффициент фильтрации определяют как среднее арифметическое значение по результатам лабораторных и полевых исследований, полученных в одинаковых условиях.

При лабораторных испытаниях для определения коэффициентов фильтрации несвязанных грунтов используется прибор Дарси (см. рис. 15.1). В вертикальном открытом цилиндре с площадью поперечного сечения Ω уложен песок, который снизу поддерживается сеткой. Вода поступает по трубке а, постоянство уровня поддерживается сливом воды через трубку b. Фильтрующаяся вода через трубку С, снабженную краном К, поступает в мерный бак.

После того как движение станет установившимся, находят расход Q и измеряют показания пьезометров, присоединенных к боковой стенке цилиндра в пределах части объема, заполненного грунтом.

Определяют по (15.3) скорость фильтрации u = Q / Ω, гидравлический уклон J = h_тр / l (h_тр – разность показаний в двух пьезометрах, расположенных на расстоянии l друг от друга). Из (15.5) находят коэф­фициент фильтрации k.

В некоторых плотных грунтах (глины и тяжелые суглинки) фильтрация начинается лишь тогда, когда гидравлический уклон (градиент напора) превысит начальный градиент J₀. Тогда вместо (15.5):

(15.8)

Для очень плотных глин J₀ = 20 ÷ 30.

Экспериментальные исследования показывают, что закон Дарси при числах Re, превышающих некоторые значения Re_кр, нарушается. При Re < Re_кр справедлив линейный закон фильтрации (ламинарная фильтрация), при Re > Re_кр (турбулентная фильтрация) имеют силу другие зависимости и и J. Для этих случаев экспериментально найдено:

(15.9)

или (15.10)

где a, b, c – коэффициенты, определяемые в опытах (или теоретически) для конкретных случаев движения грунтовых вод.

Если скорости так малы, что можно пренебречь вторым членом в (15.9) (ламинарная фильтрация), то получаем формулу Дарси. Если скорости значительны (турбулентная фильтрация) и можно пренебречь чле­ном au, то получаем формулу, по форме напоминающую формулу Шези:

. (15.11)

Формула (15.10) применяется и для трещиноватых пород, при этом n = 1  1,75.

В случаях, когда справедлива формула (15.11), потери напора зависят от квадрата скорости фильтрации.

Строго говоря, турбулентный режим движения воды при ее фильтрации наблюдается при крупных частицах, например при движении воды в каменной наброске. По С. В. Избашу при фильтрации в каменной наброске k_турб, см/с, составляет:

где d_ш – средний диаметр шара, равновеликого камню, см;

m – пористость каменной наброски.