§ 4. Задачи на вектора, прямые и плоскости.

4.1. Общая теория и алгоритмы.

В геометрии вектором называют направленный отрезок. В фиксированной системе координат⁹ каждый вектор однозначно определен своими координатами: .

Если - какой-нибудь другой вектор, то

• ,

• ,

где - число.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Обобщим понятие вектора следующим образом. Назовем последовательность чисел -мерным вектором и запишем его в виде . Число называется первой координатой, - второй и т.д., а число - размерностью вектора .

Основные понятия и свойства:

• Два -мерных вектора считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

• Для любого вектора

где - нулевой вектор.

• Вектор называется противоположным вектору и обозначается через . Очевидно, что . Вместо записи допустима также запись .

• Длиной вектора называется величина, равная

• 

• 

• 

• 

• 

С

калярным произведением -мерных векторов и называется число

Геометрически, скалярное произведение определяется как

,

где - угол между векторами и .

Тогда косинус угла между двумя векторами и может быть вычислен по следующей формуле:

Тогда проекцией вектора на вектор будет называться число

Векторным произведением -мерных векторов и называется вектор, равный . В трехмерном векторном пространстве он будет иметь координаты

Геометрически, половина длины данного вектора численно равна площади треугольника, построенного по векторам и .

Cмешанным произведением 3-х 3-мерных векторов , и называется число

Г

еометрически, модуль данного числа равен объему параллелепипеда, построенного по данным векторам.

Соответственно, объем тетраэдра, построенного по векторам , и равен одной шестой от объема параллелепипеда:

Пример 1. Для заданных векторов и вычислить и .

Вычислим вектора и :

Тогда

Для вычисления проекции вычислим вектор и длину :

,

Скалярное произведение: .

Тогда

Пример 2. Найти все углы треугольника , если координаты его точек , , .

Вычислим все необходимые вектора:

Тогда ,

,

.

Пояснение: знак “-“ при вычислении возникает потому, что один из используемых векторов, в частности, , входит в точку , а другой, , исходит из нее.

Пример 3. Найти вектор , если , , .

Вычислим все необходимые вектора:

Тогда

Пример 4. Вычислить объем тетраэдра ABCD, если , , , .

Вычислим все необходимые вектора:

Тогда

Тогда

Теорема¹⁰: Уравнение

является уравнением прямой проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору , который называется нормальным вектором данной прямой.

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение:

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид:

Для того, чтобы записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через точку необходимо

1. записать искомую прямую в виде , где числа и взяты из уравнения исходной прямой, а - неизвестный коэффициент.

2. найти из условия, что искомая прямая проходит через точку , т.е. или .

3. записать окончательный ответ, подставив в уравнение пункта 1 константу , найденную в пункте 2.

Для того, чтобы записать уравнение прямой, параллельной к данной и проходящей через точку необходимо

1. записать искомую прямую в виде , где числа и взяты из уравнения исходной прямой, а - неизвестный коэффициент.

2. найти из условия, что искомая прямая проходит через точку , т.е. или .

3. записать окончательный ответ, подставив в уравнение пункта 1 константу , найденную в пункте 2.

Пример 5. Записать уравнения всех высот треугольника , если координаты его точек , , .

Уравнение прямой :

, т.е. , тогда по правилу креста и окончательно, раскрывая скобки и перенося все в одну часть, получаем:

Высота перпендикулярна прямой и проходит через точку . Следовательно, в соответствии с приведенным алгоритмом, она имеет уравнение

,

где .

Т.е. окончательно, уравнение высота имеет вид: .