12. Свойства ранга матрицы. Связь с обратными матрицами. Теорема Кронекера-Капелли.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

• Следствия:

1. Если ранг матрицы равен , то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

2. Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

3. Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно .

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.