2.5.2. Систематизация классов моделей
В зависимости от совокупности перечисленных свойств будем различать классы операторов и моделей. Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Разумеется, можно говорить о классе математической модели, а не реальной системы.
Ранее определили следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретным временем:
• линейные (
)
или нелинейные (
);
• стационарные (S) или
нестационарные (
);
• детерминированные (
)
или стохастичные (
);
• сосредоточенные (конечномерные) (К)
или распределенные (бесконечномерные)
(
).
Отрицание свойства имеет “расширительный” смысл; например, свойство “нелинейный” означает “не обязательно линейный”. Другими словами, линейные модели с признаком L при других одинаковых признаках являются частным случаем нелинейных моделей , способных объяснять и предсказывать большее разнообразие типов поведения. Сказанное относится к любому отрицанию, означающему расширение класса моделей: подмножество моделей с признаком K (конечномерность) при прочих одинаковых признаках полностью включается во множество с признаком (распределенность параметров); модели с признаком S (стационарность) составляют собственное подмножество моделей с признаком ; детерминированные модели с признаком D являются частным случаем моделей стохастических (с признаком ). Снятие отрицания любого признака класса, вообще говоря, приводит к уменьшению информативности модели.
Эти четыре независимых признака биальтернативны; поэтому можно насчитать всего 24 = 16 классов непрерывных и столько же — дискретных систем. Перечислим элементы множества классов:
.
(2.5)
Качественный уровень сложности
естественно связать с числом отрицаний
в обозначении класса модели,
чем больше отрицаний, тем выше уровень
сложности модели. Соотношение (2.5)
частично упорядочивает множество
классов: простейшим является класс 0-го
уровня KSDL
класс конечномерных стационарных
детерминированных линейных моделей.
Наивысший, 4-й уровень сложности имеют
модели
в виде нелинейных дифференциальных/
разностных уравнений в частных
производных/ разностях с переменными
случайными коэффициентами. Классы с
одним, двумя и тремя отрицаниями имеют
соответственно 1-й, 2-й и 3-й уровни
сложности.
Простейший класс KSDL — линейные стационарные детерминированные конечномерные системы. Модели имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами. Математика предлагает весьма мощный аппарат анализа линейных дифференциальных и разностных уравнений. В рамках теории управления разработаны специализированные методы анализа и синтеза этого класса систем. В англоязычной литературе для класса KSDL принято обозначение LTI (Linear Time-Invariant).
Для систем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, как правило, имеется единственная возможность их анализа и синтеза путем вычислительных экспериментов.
Если модель системы образована элементами различных классов, то класс системы определяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.