Задача 3

Задача 2 посвящена расчету электрической цепи однофазного синусоидального тока. Для ее решения применим метод комплексных чисел.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета электрической цепи, изображенной на рис.2.1

Дано: U=120 В; R₁= 10 Ом; R₂= 24 Ом; R₃= 15 Ом; L₁ = 19,1 мГн; L₂ = 63,5 мГн; С = 455 мкФ; f= 50 Гц.

Определить : токи в ветвях цепи, напряжения на участках цепи, активную и полную мощности. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов на комплексной плоскости.

Решение. Выразим сопротивления ветвей в комплексной форме:

Z = R ±jX , тогда :

Z₁ = R₁ + jωL₁ = R₁ + j∙2π∙50∙19,1∙10^-3 = 10+j6

Z₂ = R₂ – j = 24 – j∙

Z₃ = R₃ + jωL₃ = 15 + j∙2π∙50∙63,5∙10^-3 = 15+j20ۤ

Полное комплексное сопротивление всей цепи, Ом

Z=|Z| =

Определяем ток I₁ в неразветвленной части цепи, А

İ₁=

Выразим заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения φ_u не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения так, чтобы он совпадал с положительным направлением действительной оси. Тогда мнимая составляющая комплексного числа будет отсутствовать, т.е. Ú=120 B.

İ₁=

Напряжение на участке цепи a – b

Ú_аb =İ₁Z₁ = (4,11– j1,82)(10 + j6)=41,1 + j24,66–18,2 + 10,92= 52 + j6,46

Напряжение на участке цепи b – с

Ú_bc = Ú ­­– Ú_аb = 120–52–j6,46 = 68 – j6,46

Определим токи İ₂ и İ₃

İ₂=

İ₃=

I₁ = |İ₁| =

I₂ = |İ ₂| =

I₃ = |İ₃| =

Составим баланс мощностей. Активная и реактивная мощности источника должны быть равны сумме активных и реактивных мощностей приемников.

Активная и реактивная мощности источника считаются по формуле:

S= Ú∙I^*, где I^* – сопряженное значение комплекса тока.

S_ист= Ú∙I₁^* = 120(4,11 + j1,82) = 493,2 + j218,4

Отсюда : активная мощность – это вещественная часть комплексной мощности , а реактивная – мнимая часть с учетом знака. Тогда

P_ист= 493,2 Вт

Q_ист= 218,4 вар

Активная и реактивная мощности приемников можно рассчитать по формуле

S= I²∙Z = P±jQ, тогда:

S₁= I₁²∙Z₁= 4,5²(10 + j6) = 20,25(10 + j6) = 202,5 + j121,5

P₁ = 202,5 Вт; Q₁ = 121,5 вар

S₂= I₂²∙Z₂ = 2,73²(24 – j7) = 178,9 – j52,17

P₂ = 178,9 Вт; Q₂ = –52,17 вар

S₃= I₃²∙Z₃ = 2,73²(15 + j20) = 111,6 + j148,8

P₃ = 111,6 Вт; Q₃ = 148,8 вар

P₁ + P₂ + P₃ = 202,5 + 178,9 + 111,6 = 493 Вт;

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 121,5 – 52,17 + 148,8 = 218,1 вар

Определяем показания ваттметра:

P = I²R, ваттметр показывает активную мощность всей цепи:

P = I₁²R= 4,5² ∙ 2,44 = 494 Вт.

Построим векторную диаграмму токов на комплексной плоскости.

Задача 4

Задача 3 посвящена расчету трехфазной электрической цепи при соединении фаз симметричного или не симметричного приемника «треугольником » или «звездой».

Рассмотрим расчет таких цепей на следующих примерах.

Пример 1. В трехфазную цепь с линейным напряжением U_л = 220 В включен симметричный приемник, соединенный «треугольником », сопротивление каждой фазы которого Z = (10 + j10) Ом (рис 3.1). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии, мощности каждой фазы и всей цепи.

Решение . Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Принимаем за направление вектора линейного напряжения Ú_АB= Ú_ab=220 B;

Ú_BC= Ú_bc= – 220∙e^–j120º ; Ú_CA= Ú_ca= 220∙e^j120º

В алгебраической форме

Ú_BC= Ú_bc= – 110 – j190

Ú_CA= Ú_ca= – 110 + j190

Определяем фазные токи (рис 3.1) :

=

Действующее значение тока I_ab =

действующее значение тока I_bc = 15,5 A

действующее значение тока I_ca = 15,5 A

Определяем линейные токи:

İ_A = İ_ab – İ_ca = 11 – j11 – 4 – j15= 7– j26

İ_B = İ_bc – İ_ab = –15 – j4 – 11 + j11= –26+ j7

İ_C = İ_ca – İ_bc = 4 + j15 + 15 + j4= 19 + j19

Действующее значения токов :

I_A=26,9 A; I_B=26,9 A; I_C=26,9 A;

Определяем комплексное значение мощности каждый фазы:

S_ab = Ú_ab∙I^*_ab = 220 ∙(11 + j11) = ;

где I^*_ab – сопряженное значение комплексного тока.

P_ab = 2420 Вт

Q_ab = 2420 Вар

S_bс = Ú_bс∙I^*_bс = (–110 – j190)(–15 + j4) = 2420 + j2420

P_bc = 2420 Вт

Q_bc = 2420 Вар

S_сa = Ú_сa∙I^*_сa = (–110 + j190)(4 – j15) = 2420 + j2420

P_ca = 2420 Вт

Q_ca = 2420 Вар

Активная мощность всей цепи:

P = P_ab + P_bc + P_ca = 3 P_ab = 3 P_bc = 3 P_ca = 7620 Вт

Реактивная мощность всей цепи:

Q = Q_ab + Q_bc + Q_ca = 3 Q_ab = 3 Q_bc = 3Q_ca = 7620 Вар

Поскольку имеем симметричный приемник, можно было определить активную и реактивную мощности любой фазы и умножением этой мощности на 3, получить мощность всей цепи.

Пример2 . В четырехпроводную трехфазную цепь с линейным напряжением

U_л = 220 В включен «звездой » приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны R_a = 3 Ом, X_a = 5,2 Ом , R_b = 3 Ом, X_b = 5,2 Ом,

R_c = 4 Ом, X_c = 3 Ом (рис 3.1). Найти токи в линейных и нейтральных проводах, а также активные и реактивные мощности фаз и всей цепи.

Решение . Считаем, что вектор фазного напряжения U_а направлен по действительной оси, тогда

U_а = U_л∙ =127B;

Ú_b=127e^–j120º = – 63,5 – j110 ;

Ú_c= 127e^j120º = – 63,5 + j110

Определяем фазные токи, они же будут и линейными

Действующее значение тока : I_a =

Действующее значение тока :

I_b =

Действующее значение тока :

I_c =

Определяем токи в нейтральном проводе:

I_Nn = İ_a + İ_b + İ_c = 15,24 – j20,32 – 21,2 + j0,005 + 3,04 + j25,2 = – 2,92 + j4,89

Действующее значение тока :

I_Nn =

Активные и реактивные мощности каждой фазы и всей цепи определяются аналогичным образом, как в примере 1.

Пример 3. В трехфазную цепь с линейным напряжением U_л = 380 В включен «звездой» приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивление фаз которого равны: R= X_L = X_C = 22 Ом (рис 3.3)

Решение . Расчет токов производят комплексным методом. Комплексное сопротивление каждой фазы : Z_a=22; Z_h= –j22; Z_c= j22.

Определяем фазные напряжения генератора:

Ú_А=

Ú_B= 220∙e^–j120º = –110 – j190,5

Ú_C= 220∙e^j120º = –110 + j190,5

Для того, чтобы найти фазные напряжения приемника, необходимо найти напряжения между нейтральными точками генератора и приемника:

Ú_Nn =

Y_a,Y_b,Y_c – комплексные значения проводимостей каждой фазы:

Y_a= , Y_b= , Y_c= ;

Определяем фазные напряжения приемника:

Ú_a = Ú_А – Ú_Nn = 220 – 8689 = – 8469

Ú_b = Ú_B – Ú_Nn = –110 – j190,5 – 8689 = – 8799 – j190,5

Ú_c = Ú_C – Ú_Nn = –110 + j190,5 – 8689 = – 8799 + j190,5

Определяем линейные (фазные) токи:

Действующее значение тока : I_a =385A

Действующее значение тока : İ_b = 400A.

Действующее значение тока : İ_c = 400A.

Активные и реактивные мощности каждой фазы и всей цепи определяются аналогичным образом, как в примере 1.