4.2. Постановка основной задачи мвсф

Существует ряд методов и способов повышения быстродействия. Из принципа максимума Л.С.Понтрягина следует, что система управления, минимизирующая время переходного процесса, требует использования максимальнодопустимого управления с кусочнопостоянным характером изменения.

В предлагаемом методе также предусматривается резерв на управление, но со следующими особенностями:

1) для управления, симметричного относительно оси времени (рис. 4.1)

, (4.6)

или в относительной форме

, (4.7)

где  номинальнозаданное управление, соответствующее номинальному режиму функционирования системы управления;  максимальнодопустимое управление;  относительная величина максимальнодопустимого управления:

;

2) для управления, симметричного относительно заданного (рис.4.2 и 4.3)

, (4.8)

или

, (4.9)

где l  величина, характеризующая резерв на управление;  относительная величина резерва, которая может быть меньше или равной единицы

(рис. 4.2) или больше единицы, но меньше заданной величины (рис. 4.3):

(4.10)

На рисунке 4.1 представлено максимальнодопустимое кусочнопостоянное управление с переключением в конечный момент времени на заданное управление . Управление, изображенное на рис. 4.2 и 4.3, соответствует случаю, когда переключение  осуществляется относительно постоянно включенного номинального управления .

Рис. 4.1. Максимальнодопустимое кусочнопостоянное управление с переключением в конечный момент времени на заданное управление.

Рис. 4.2. Максимальнодопустимое кусочнопостоянное управление, относительная величина резерва меньше или равна единицы.

Рис. 4.3. Максимальнодопустимое кусочнопостоянное управление, относительная величина резерва больше единицы.

Задача ставится в линейном плане. Рассматривается одномерный динамический объект управления, процесс в котором описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

, (4.11)

где  управляемая переменная;  управление;  коэффициенты, i = 1, 2, ..., n.

Правая часть уравнения (4.11) связана с управлением. Если задаться постоянным управляющим воздействием, то решение уравнения будет состоять из двух составляющих

где  переходная временная функция;  свободная составляющая;  вынужденная составляющая.

Свободная составляющая описывает динамический процесс, то есть свободное движение системы.

Основная задача управления состоит в том, чтобы сделать свободное движение наименьшим.

В правой части уравнения (4.11) допускаются производные, степень которых не должна превышать степени левой части уравнения.

Начальные условия могут быть:

нулевыми при

, (4.12)

либо ненулевыми при

, , , ... . (4.13)

Конечные условия могут принимать значения:

нулевые при

, (4.14)

либо ненулевые при

, . (4.15)

В (4.15) величина  заданное номинальное значение управляемой величины, все остальные производные от первой до (n-1) принимаются нулевыми.

Введем в рассмотрение функцию от свободной составляющей переходного процесса , моментов переключения управления , максимальнодопустимого и номинальнозаданного управления

,

и образуем интегральный функционал

, (4.16)

где i = 1, 2, ... , n.

Приравняем подынтегральную функцию единице

(4.17)

Получаем известный критерий оптимальности по быстродействию [5]. Оптимальность управления означает минимальность времени перехода объекта из начального положения (4.12) или (4.13) в конечное состояние (4.14) или (4.15).

Таким образом, основная задача нахождения оптимальных управлений может быть сформулирована следующим образом.

Среди всех максимальнодопустимых управлений , переводящих объект управления из начального состояния (4.12) или (4.13) в конечное положение (4.14) или (4.15), найти такое, для которого функционал (4.16) с учетом (4.17) принимает наименьшее значение.