9. Дайте определения ранга матрицы размером т*n. Определите ранг матрицы (матрица задана)

Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Пример на определение ранга матрицы:

Нахождение ранга матрицы с помощью вычисления всех ее миноров требует слишком большой вычислительной работы. Поэтому для нахождения ранга применяется другой алгоритм. Для его описания потребуется ряд дополнительных сведений.

Элементарные преобразования матриц:

1) перестановка строк или столбцов;

2) умножение строки или столбца на число отличное от нуля;

3) добавление к одной из строк другой строки, умноженной на число или добавление к одному из столбцов другого столбца, умноженного на число.

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

10. Дайте определения:1)совместной и несовместной СЛАУ, 2) определенной и неопределенной СЛАУ.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение и несовместной если не имеет ни одного решения.

СЛАУ называется определенной, если имеет единственное решение и неопределенной, если больше 1 решения.

11. Действия над матрицами: сумма, произведение, транспонирование. Свойства и формулы для расчета элементов.

Матрицей размера mxn наз таблица чисел, кот расположена в m-строках и n-столбцах

a₁₁ а₁₂ …а_1n

А= a₂₁ а₂₂ …а_2n или кратко А=(a_ij)

…………..

a_m1 а_m2 …а_mn

Транспонированной матрицей наз матрица, в которой, не изменяя порядка, строки заменены столбцами. Для транспонированных матриц справедливы следующие соотношения: 1)(А')' = A; 2)(АВ)' = В'А' ; 3) (А + В)' = А' + В'.

Суммой двух матриц одного размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Так, если А - || а_ij || и В=|| b_ij||— матрицы размера т х п, то их суммой является матрица С = А + В, такая, что c_ij=a_ij+b_ij.

Произведением матрицы А размера т х п на число А, называется матрица D того же размера, у которой d_ij=a_ijλ.

Произведением матрицы А размера т х п на матрицу В размера n х k наз матрица С размера т х k, эл-ты кот с_ij равны скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т.е

Произведение матриц обозначается С = АВ. Скалярное произведение векторов а и b можно представить как произведение вектора-строки (матрицы-строки) а на вектор-столбец (матрицу-столбец) b': (a, b) = ab' . Для операции произведения матриц справедливы следующие свойства:

1)A(BС) = (АВ)С; 2)(А+В)С=АС+ВС;

3)A(B+С)=AB+AC; 4) λАВ) = (λА)В.4) λАВ) = (λА)В.