Требования задачи

Записать уравнения, описывающие изменение с течением времени параметров газа в каждом из объемов.

Записать уравнения, позволяющие установить значения скоростей перетекания газа из одного объема в другой. Выполнить решение сформулированной задачи, начиная с момента времени t₀=0 до момента времени t_K=0.05 c. Результаты расчетов представить в виде таблиц и графиков изменения с течением времени значений давления и температуры в каждом из объемов и скоростей истечения из объема в объем.

1 3 2

4 V 5

Рис.1. Технический объект.

1-цилиндр; 2,3-рабочий объем; 4- отверстие, через которое происходит истечение газа; 5-поршень;

Основные расчетные зависимости

1. Уравнения процессов в каждом из объемов может быть записано в виде

Для первого объема:

,

,

,

,

.

Для второго объема:

,

,

,

,

.

2. Параметры истечения газа из объема в объем или из объема в окружающее пространство устанавливаются уравнениями

,

,

.

Последние формулы справедливы, если выполняется условие . В противном случае в объем с номером i из объема с номером j происходит втекание газа. В этом случае последние уравнения примут вид

,

,

.

На каждом шаге времени требуется решать систему дифференциальных уравнений для каждого объема, и с помощью полученных значений плотностей, объемов и внутренних энергий газа определять давления и температуру газа в каждом из объемов.

Систему дифференциальных уравнений решаем методом Рунге-Кутта.

Теоретические сведения Метод Ренге-Кутта, для решения дифференциальных уравнений

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется по известным вычислительным алгоритмам, соответствующим методам Эйлера и Рунге-Кутта. Первая группа методов имеет первый или второй (соответствует методу Эйлера с модификацией) порядок точности. Вторая группа методов имеет порядок точности не ниже четвертого.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в виде

,

,

…………………….

, (1)

……………………..

.

В соответствии с теорией один из вариантов метода Рунге-Кутта, при известных значениях интегрируемых функций в произвольный момент времени значения этих функций в момент времени рассчитывается по формулам:

,

,

……………………………………….. (2)

,

…………………………………………

,

В уравнениях (2) значения коэффициентов (для ) определяются формулами:

,

,

,

,

Записанные выше алгоритмы расчета обыкновенных дифференциальных уравнений обеспечивает расчет с пятым порядком точности (главный член погрешности имеет точность ).

Решение находится по формуле

,

Здесь , , , .