30. Определение динамической ошибки цикловой машины в установившемся режиме при учете статической характеристики двигателя. Коэффициент неравномерности вращения.
Найдем
теперь динамическую ошибку
закона движения двигателя. С этой целью,
следуя методу последовательных
приближений, подставим решение
,
,
,
найденное выше, в правую часть уравнения (8.23), в которой стоят «возмущающие силы», вызывающие отклонение закона движения от равномерного вращения. Получаем
, (8.31)
где
– возмущающий момент, ранее введенный
в качестве характеристики внутренней
виброактивности механизма. Таким
образом, причиной неравномерности
вращения ротора двигателя в установившемся
режиме является внутренняя виброактивность
механической системы, обусловленная
явной зависимостью приведенного момента
инерции и приведенного момента сил
сопротивления от обобщенной координаты
q.
В левую часть уравнения (8.23) подставим
первое приближение
.
(8.32)
Разыскиваем первое приближение в виде
,
,
. (8.33)
Заменим
в левой части уравнения (8.32) моменты
и
их линеаризованными выражениями
(8.34)
где
– момент, соответствующий ординате
точки В
на рис. 8.4. Представляя
в форме ряда Фурье и подставляя (8.33),
(8.34) в (8.32), получаем линейное дифференциальное
уравнение второго порядка
, (8.35)
где
– угловая скорость входного звена
исполнительного механизма;
.
Общее решение данного уравнения
стремится к нулю с ростом t,
поэтому установившемуся движению
системы соответствует частное
периодическое решение, которое будем
искать в виде:
(8.36)
Определим
амплитуду
и фазу
-ой
гармоники. Подставим (8.36) в (8.35):
,
,
.
Приравняем коэффициенты при косинусах и фазы:
,
.
Окончательно получаем:
, (8.37)
. (8.38)
Выражения (8.37) и (8.38) определяют динамическую ошибку закона движения в первом приближении. Для ее уточнения следует подставить в правую часть уравнения (8.23) и, решая его, искать следующее приближение. Однако, как правило, точность первого приближения оказывается вполне достаточной для практических расчетов.
Из
формул (8.37) и (8.38) следует, что гармоника
возмущающего момента, имеющая частоту
,
вызывает появление гармоник той же
частоты в динамических ошибках по углу
и угловой скорости. При этом амплитуды
этих гармоник
и
связаны с амплитудой возмущающего
момента соотношениями
,
. (8.39)
Здесь
– механическая постоянная времени
машины. Формулы (8.39) показывают, что
соотношения
и
убывают с ростом
.
Это обычно приводит к тому, что в спектре
динамических ошибок преобладающими
оказываются низкочастотные компоненты.
По этой причине ряды Фурье (8.37) и (8.38) обычно быстро сходятся. В некоторых случаях можно ограничиться сохранением в них первых двух-трех гармоник.
Вместе с тем необходимо отметить, что представление решения в виде ряда Фурье может оказаться неприемлемым в тех случаях, когда в цикловой машине при установившемся движении возникают скачки возмущающего момента, вызванные какими-то ударными процессами (например, в прессах), или скачками второй производной от функции положения (в кулачковых механизмах). В таких системах на сравнительно плавное движение машины, описываемое решением вида (8.37) – (8.38), накладываются свободные колебания, вызванные скачками возмущения. Эти колебания принято называть сопровождающими. Следует, однако иметь в виду, что чаще всего адекватное рассмотрение установившихся решений в системе со скачками возмущений требует перехода к упругой модели механизма. Подробно такие упругие системы рассмотрены в [4].
Неравномерность вращения ротора двигателя принято характеризовать коэффициентом неравномерности (рис. 8.5):
.
В
литературе [6] можно найти указания о
допустимых значениях коэффициента
неравномерности для различных машин.
Сама по себе неравномерность вращения,
как правило, не влияет на качество
рабочего процесса. Чаще всего она опасна
тем, что вызывает дополнительные потери
энергии в двигателе и повышенные
динамические нагрузки в передаточном
механизме. Кроме того, неравномерность
вращения ротора двигателя, обладающего
обычно большим моментом инерции, вызывает
динамические воздействия на основание.