15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-

жеств. Следствие о счетной аддитивности.

П.1 Мера клеточных множеств

Будем рассматривать пространство .

Рассмотрим - полукольцо прямоугольников (клеток).

Клеточное (элементарное) множество: - объединение конечного числа прямоугольников. Система клеточных множеств образует кольцо.

Свойства меры клеточных множеств:

1. 

2. - конечно-аддитивна, т.е.

3. Не зависит от способа разбиения на прямоугольники

■

Определение 1. Покрытием множества А называется конечная или бесконечная система открытых множеств , объединение которых содержит множество А : .

Лемма Гейне-Бореля. Пусть А-компакт, тогда из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие. (без доказательства)

_{Теорема 1 (}Полуаддитивность меры клеточных множеств)

_{Пусть А – клеточное множество - его покрытие прямоугольниками (конечное или счетное), тогда .}

_{- замкнутое клеточное множество,}

_{- открытое, : - клеточные, .}

_{По Лемме Гейне-Бореля из выделим такую, что и}

■

Следствие (𝛔 - аддитивность, счетная аддитивность)

Пусть - клеточные. Тогда .

, так как - покрытие ∎

16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.

Свойства измеримых множеств.

Мера Лебега (классическая)

Рассмотрим . Пусть покрытие множества системой клеточных множеств.

Определение. Внешней мерой множества называется , где всевозможные покрытия множества А системами клеточных множеств.

Далее клеточное множество - кл.м.

Определение: Множество называется измеримым (по Лебегу), если .

Мера , заданная на измеримых множествах, называется мерой Лебега.

Свойства внешней меры :

• Если - клеточное, то ;

• Если , то ;

• Если , то ;

• _.

Свойства измеримых множеств:

1. Если , то - измеримо.

Пусть ∎

2. Если - измеримо, то - измеримо.

- измеримо ∎

3. Если - измеримы, то - измеримы. . Докажем включение

- измеримо ∎

4. Если - измеримы, то - измеримы.

∎

5. конечного числа измеримых множеств – измеримое множество.

Лемма. .

∎

17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности

меры Лебега.

Теорема 2. (Конечная аддитивность меры Лебега)

Пусть - измеримы, , тогда .

По определению измеримого множества

Имеем , , .

Но также было доказано ранее , и по лемме

, но

∎

Теорема 3 ( -аддитивность меры)

Объединение счетного числа измеримых множеств измеримо и

, где -измеримы, .

⧠ 1) Измеримость. Пусть -измеримы. Если их пересечения не пусты, то перейдем к системе непересекающихся множеств : .

Можем считать, что . Пусть .

Имеем - сходится. .

Рассмотрим , С - измеримо, . Пусть B - кл.м.: .

Так как , то . - измеримо.

2) Докажем, что . Имеем Тогда при , но также , так как множества образуют покрытие множества А. Следовательно, .∎

Следствие. Пересечение счетного числа измеримых множеств - измеримо.

⧠ Пусть - измеримы. ∎