5, 6 Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса

Вект. х(λ₁,..,λ_n) в некот.базисе (е₁,..,е_n).обозначим Х=(λ₁,..,λ_n)^Т и [e]= (е₁,..,е_n), эл-ми явл. базисн. вект.

Тогда вект. Х можно предст. след.обр. х=[e]Х=х₁е₁+..+ х_nе_n т.е это разлож. вектора х по базису.

Теорема.для того, чтобы вект. х₁, х₂,.., х_п были лин.зав. необх. и дост., чтобы коо-столбцы этих вект. В некот. Базисе были лин.зав.

Теорема.матричн.критерий. для того,чтобы вект. Были лин.зав., необх и дост, чтобы матрица, сост. из коо. Столбцов этих вект. В некот.базисе была меньше числа вект.

Преобр.базисов и коорд. Пусть им-ся 2 базиса[e]=[е₁,..,е_n], [e’]=[е₁’,..,е_n’]в одном пр-ве L над P.выразим коо штрих. базиса ч/з коо нештрих.

коо в нештрих.базисе штрих-го. Матрица Т наз-ся матрицей перехода от [e]к[e’] [e’]=[e]T. – связь между двумя базисами

Св-ва матрицы перех:

1.матрица перех. Опр-ся однозначно. Это след-ет из одно-ти разлож. Вект-в по бизасу.

2. матрица перех. невырожденн. Это след-ет из матричн.критерия лин.зав-ти вект-в.

3. матрица перех. от базиса [e]к[e] единичная

4. пусть Т-матрица перех.от [e]к [e’]. А матрица Q от [e’]к [e’’].Тогда матрица перех от [e]к [e’’] будет TQ.

5. если Т-матрица перех. от [e]к [e’],то T^-1есть матрица перех. от[e’] к [e].

Преобр. коорд вект-в при перех. К новому базису

Пусть даны базисы [e], [e’] и матрица Т, т.е. [e’]=[e]T. Возьмем произв.вектор х и его можно предст. х=[e]Х=[e’]Х’; [e]Х=[e]TХ’=> поск-ку коо вект-ра в данном базисе опр-ся однозначно X=TX’

7 .Подпространство векторного пространства.

Лин.подпр-вом Wn лин.пр-ва V над Pназ-ся мн-во эл-в пр-ва V,котор. Само явл-ся лин. пр-вом над Р с опред-ми внутр. и внеш. операциями. Пример: W=R,

Теорема. Для того, чтобы W, содержащееся в V было подпространством V, необх. и дост., чтобы в W вып-сь условия:1) c ϵ W 2) , αϵP, α*a=b ϵ W.

Лин.оболочкой(L) вект-в (a₁,..,a_n ) (1) наз-ся мн-во x = {x= Векторы (1) наз-ся системой образующих линейной оболочки L

Теорема. лин. Оболочка сист. вект.(1) явл-ся линейным подпр-вом пр-ва V, разменр-ть этого подпр-ва = числу лин.независим-х вект-в, содержащихся в (1).

8. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства.

2 лин. пр-ва V и V’ наз-ся изоморфными, если сущ-ет взаимнооднозначный лин. оператор f: V->V’

Оператор f называется изоморфизмом пространств V и V’. V V’

Св-ва изоморфизма:

1. Рефлексивность: V V

2. Симметричность: если V V’, то V’ V

3. Трансзитивность: V V’, V’ V’’ => V V’’

Теорема 1. Если пр-ва Wn и W’ изоморфны , то dimV’=n.

Теорема 2. Все n-мерные пр-ва над P изоморфны.

Т. к. все n-мерные пр-ва изоморфны, то можно изучать свойства какого-либо одного пр-ва размерности n и переносить их на другие n-мерные пространства.