5. Приближенное решение систем нелинейных уравнений
5.1. Метод Ньютона
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(5.1)
с действительными левыми частями. Систему (5.1) можно представить в матричном виде
(5.2)
Здесь приняты следующие обозначения:
-
вектор аргументов, а
- вектор – функция.
Для решения системы (5.2) воспользуемся методом последовательных приближений. Предположим, что найдено р-ое приближение xp = (x1(p), x2(p) , ..., xn(p)) одного из изолированных корней x = (x1, x2, x3, ..., xn) векторного уравнения (5.2). Тогда точный корень уравнения (5.2) можно представить в виде
(5.3)
где
- поправка (погрешность) корня
на n
– ом шаге.
Подставив выражение (5.3) в (5.2), получим
(5.4)
Предположим, что функция f(x) - непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(p). Тогда левую часть уравнения (5.4) разложим в ряд Тейлора по степеням малого вектора ε(p), ограничиваясь линейными членами:
, (5.5)
или в развернутом виде:
(5.6)
Из анализа формул (5.5) и (5.6) следует, что под производной f(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f1 , f2, ..., fn, относительно переменных x1, x2, x3, ..., xn, то есть:
. (5.7)
Выражение (5.7) в краткой записи можно представить:
(5.8)
Выражение
(5.6) представляет собой линейную систему
относительно поправок
(i
= 1,
2,
..., n)
с матрицей
W(x),
поэтому
формула (5.5) может быть записана в
следующем виде:
(5.9)
Отсюда, предполагая, что матрица W(x(p)) - неособенная, получим:
(5.10)
Теперь, подставив выражение (5.10) в формулу (5.3), окончательно получим:
(5.11)
Таким образом, получили вычислительную формулу (метод Ньютона), где в качестве нулевого приближения x(0) можно взять приближенное (грубое) значение искомого корня.
Пример 5.1. Рассмотрим применение метода Ньютона на примере системы двух нелинейных уравнений
(5.12)
Прежде чем разбирать конкретные шаги по решению системы (5.12), распишем в общем виде якобиан для системы из двух уравнений
Здесь A, B, C, D – функционалы от переменных x1, x2. Нас фактически интересует W-1. Пусть матрица W- неособенная, тогда обратная матрица вычисляется
Теперь вернемся к системе (5.12). Графическое решение этой системы дает две точки пересечения: М1 (1.4; -1.5) и М2 (3.4; 2.2). Зададим начальное приближение:
Используя формулу (5.11), получим:
Аналогично получим:
5.2. Метод градиента (метод скорейшего спуска)
Пусть имеется система нелинейных уравнений:
(5.13)
Систему (5.13) удобнее записать в матричном виде:
(5.14)
где
- вектор – функция;
-
вектор – аргумент.
Решение системы (5.14), как и для системы линейных уравнений (см. п. 3.8), будем искать в виде
(5.15)
Здесь
и
- векторы неизвестных наp
и p+1
шагах
итераций;
вектор
невязок на p-ом
шаге
– f(p)
= f(x(p));
W'p
– транспонированная
матрица Якоби на p
–
ом шаге;
;
.
Пример 5.2. Методом градиента вычислим приближенно корни системы
расположенные в окрестности начала координат.
Имеем:
Выберем начальное приближение:
По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:
Аналогичным образом находим следующее приближение:
Ограничимся двумя итерациями (шагами), и оценим невязку:
Замечания
Как видно из примера, решение достаточно быстро сходится, невязка быстро убывает.
При решении системы нелинейных уравнений методом градиента матрицу Якоби необходимо пересчитывать на каждом шаге (итерации).