1.2. Гармонические электромагнитные волны

Гармонической электромагнитной волной называет плоскую вол­ну, в которой вектор изменяется по закону

, (1.14)

где - амплитуда волны; - круговая частота волны.

Аргумент зависимости (1.14) можно записать в более рас­пространенном виде:

где -волновое число.

Если выбрать систему координат таким образом, чтобы вектор был направлен вдоль одной из осей, то выражение для прини­мает наи­более простой вид. Например, если вектор направлен вдоль оси , т.е. , , то

и . (1.15)

Другой, более распространенной и более удобной при проведе­нии ма­тематических преобразований формой представления гармони­ческой волны является экспоненциальная форма. К ней можно перей­ти, если выражение (1.15) записать в виде

.

На практике знак опускают и уравнение волны записывают в виде

. (1.16)

Следует иметь в виду, что при этом представлении волны физичес­кий смысл имеет лишь его реальная часть. Преимуществом экспонен­ци­альной формы представления является то, что она позволяет зна­чи­тельно упростить описание различных линейных преобразований век­тора . Физический смысл после всех преобразований будет также иметь только реальная часть полученного значения вектора .

1.3. Вектор Джонса.

В поляризационных исследованиях чаще используют представле­ние гармонической волны в виде вектора Джонса. Рассмотрим переход к такому представлению. Поскольку для волны, распространяющейся вдоль оси , волновой фронт параллелен плоскости , то вектор волны имеет лишь две компоненты: и , в общем случае с различ­ными начальными фазами и : в силу этого из соотношений (1.15) и (1.16) можно записать

,

где

,

,

или

,

.

В выражениях (1.18) , - амплитуды колеба­ний вектора волны вдоль осей и соответственно.

Если ввести вектор-столбец

, (1.19)

называемый вектором Джонса, то он, как следует из (1.18), будет пол­ностью описывать вектор электромагнитного поля с точностью до коэффициента , характеризующего пространственно-вре­мен­ное изменение.

Покажем, что вектор Джонса характеризует состояние поляриза­ции излучения. Согласно определению, тип поляризации света харак­тери­зуется кривой, представляющей собой проекцию годографа векто­ра на плоскость волнового фронта, т.е. в нашем случае на плос­кость . (Здесь и в дальнейшем термин "свет" мы будем пони­мать в ши­роком смысле слова, как электромагнитную волну в оптичес­ком диа­пазоне частот.)

Рассмотрим световую волну, заданную в форме (1.17). Для нахожде­ния формы искомой кривой исключим из этих соотношений параметр . Непосредственно из (1.17) получим

,

. (1.20)

Умножив первое выражение на , второе - на , после вычита­ния получим

. (1.21)

Затем, умножив первое выражение в (1.20) на , второе – на и вычитая, получим другое соотношение:

. (1.22)

Возводя (1.21) и (1.22) в квадрат и складывая, получим

, (1.23)

г

Рис.2

де - разность фаз между компонентами и вектора .

К

Рис.2

ак следует из выражения (1.23), искомая кривая представляет собой эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами (рис.2), следовательно, при произвольном значении поляризация света - эллиптическая.

Определим теперь направление вращения вектора при распростра­нении волны вдоль оси , т.е. при изменении параметра . Для этого зафиксируем такое значение параметра, , при котором , т.е. .Тогда из (1.17) получим

.

Следовательно, при конец вектора находится в точке 1, а при - в точке 2. После этого определим элементарное изменение компоненты вектора при изменении параметра в диапа­зоне от до . Из формулы (1.17) имеем

,

следовательно, при увеличении параметра от обеих точек 1 и 2 ко­нец вектора смещается влево. Таким образом, направление враще­ния вектора определяется только значением разности фаз : при происходит вращение по часовой стрелке (соответствующую поляризацию называют правой), при - против часовой стрелки (соответствующую поляризацию называют левой).

Рассмотрим частные случаи эллиптической поляризации:

1) , где . Тогда и соотношение (23) принимает вид

,

т.е. эллипс вырождается в отрезок прямой, являющейся диагональю упомянутого выше прямоугольника (рис. 3). При четных значениях прямая располагается в первом и третьем квадрантах, при нечетных - во втором и четвертом. Соответствующую поляризацию света назы­вают линейной;

2) , где . Уравнение (23) в этом случае будет приведено к виду

,

Рис.3

а это есть каноническое уравнение эллипса с осями, расположенными вдоль координатных осей (рис. 4). При эллипс вырождается в круг - и поляризацию называют круговой, или циркулярной.

Полезно проследить, как меняется состояние поляризации света при изменении значения разности фаз между компонентами и волны. Соответствующие изменения представлены на рис. 5.

Рис.4

И

Рис.5

так, мы показали, что состояние поляризации полностью определя­ется амплитудами и колебаний вектора по осям и соответ­ственно и разностью фаз . Введенный ранее вектор Джонса зависит от тех же параметров, следовательно, он также однозначно определяет поляризацию света.

Преобразуем вектор Джонса к виду, более удобному для практического использования. Поскольку характер поляризации определяется разно­стью фаз , формулу (1.19) удобнее представить в виде

, (1.24)

Начальная фаза не влияет на поляризацию света, и ее в большин­стве случаев можно задавать произвольно, в частности, половить рав­ной нулю. Тогда

. (1.25)

Введем величину , называемую интенсивностью световой волны; по определению,

.

В последнем выражении - эрмитово-сопряженный вектор Джонса, т.е. вектор-строка, компоненты которого комплексно-сопряжены исход­ному вектору. Введем вспомогательный угол , такой, что . (см. рис. 2). Тогда после очевидных преобразований формулу (125) можно записать как

. (1.26)

Форма представления (26) вектора Джонса наиболее удобна, по­скольку дает возможность выделить интенсивность волны, которая в большинстве случаев может быть принята равной единице.

В качестве примеров рассмотрим некоторые частные случаи век­тора Джонса:

- линейно поляризованный свет единичной интенсивности с азимутом колебаний (направле­ние колебаний вектора составляет угол с осью );

- свет с правой круговой поляризацией; интенсивность света ;

- свет с левой круговой поляризацией; интенсивность света .