Вопрос 1
Признаки параллелограмма:
1)Диагонали параллелограмма пересекаются точкой пересечения и делятся напополам (теорема 6.2). Доказательство: пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС1, равный АО. Четырёхугольник АВС1D – параллелограмм, следовательно, прямая ВС1 параллельна АD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС1 совпадает с прямой ВС.
2)Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Доказательство: пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АВ и СD параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда их углы равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АD и Вссекущей АС, значит, АD||ВС. Следовательно, АВСD – параллелограмм.
3)Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Доказательство: Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА, Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтом углы АОВ и СОD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по второму признаку АВСD – параллелограмм.
Вопрос 2
Построение
(рис. 32). «Пусть а — большая из трех
сторон. Возьмем произвольный луч с
началом С и проведем окружность радиуса
а с центром в точке С.
Точку пересечения луча и окружности
обозначим В (постр. 1). Проведем еще одну
окружность радиуса b с центром в точке
С (постр. 2) и окружность радиуса С с
центром в точке В (постр. 3).
Если а < b + с, то эти две окружности
пересекаются в двух точках. Пусть А —
одна из этих точек. Тогда по построению
треугольник ABC имеет стороны заданной
длины а, b, с.
Если а > b + с, то эти две окружности не
пересекаются и задача решения не
имеет.
Билет №11 1. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств). 2. Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
Вопрос 1
Свойства параллелограмма
1)Диагонали параллелограмма пересекаются точкой пересечения и делятся напополам (теорема 6.2). Доказательство: пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС1, равный АО. Четырёхугольник АВС1D – параллелограмм, следовательно, прямая ВС1 параллельна АD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС1 совпадает с прямой ВС.
2)У параллелограмма противолежащие стороны и углы равны (теорема 6.3). Доказательство: Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём его диагонали. Пусть О – точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон следует из равенства треугольников, образованных после проведения диагоналей в параллелограмме. Равенство противолежащих углов АВС и СDА следует из равенства треугольников АВС и СDА, и равенство углов ВСD и DАВ следует из равенства треугольников ВСD и DАВ.