Билет №15

1. Свойства систематических погрешностей.

Систематическая ошибка сохраняет свою величину и знак при повторных измерениях в тех же условиях. Как правило, систематическая ошибка – следствие действия какого-либо одного фактора, она меняется в зависимости от изменения этого фактора.

Если изучить связь между величиной систематической ошибки и значением вызывающего ее фактора, можно исключить ее введением соответствующей поправки или используя специальную методику измерений.

Классические примеры – введение поправки за температуру мерных проволок, лент; исключение влияния остаточной негоризонтальности визирной осью нивелира соблюдением равенства расстояний до реек при нивелировании на станции (нивелирование из середины); измерение угла при «круге лево» и «круге право», для исключения коллимационной ошибки и т.п.

Сложив элементарные систематические ошибки, получим систематическую составляющую истинной ошибки.

Опыт показывает, что полностью исключить систематические ошибки невозможно, однако измерения должны быть организованы так, чтобы остаточное влияние систематических ошибок было пренебрегаемо малым, чтобы систематической составляющей можно было пренебречь.

2. Средняя квадратическая погрешность функции зависимых аргументов

.

Свойства кривой ошибок

Первое свойство. Для ряда результатов наблюдений с известным параметром распределения абсолютные величины случайных ошибок с заданной вероятностью р не превосходят определенного предела.

Второе свойство. Положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны, т. е. они одинаково часто встречаются при наблюдениях

Т ретье свойство. Среднее арифметическое из алгебраической суммы значений случайных ошибок при неограниченном возрастании числа наблюдений имеет пределом нуль т. е.

математическое ожидание случайной ошибки равно нулю.

Четвертое свойство. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются при наблюдениях чаще, чем большие.

В подавляющем большинстве случаев, встречающихся в практике обработки результатов наблюдений, случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения вероятностей. Наглядным проявлением этого закона являются перечисленные выше свойства случайных ошибок, которым почти всегда достаточно хорошо отвечают исследуемые ряды ошибок наблюдений

СКО простой средней

Для определения mx представим х в виде

Полагая результаты равноточных наблюдений x1, х2, • . . , х_n независимыми, определим m_x по формуле средней квадратической ошибки функции общего вида

Г де

В силу равноточности наблюдений можем принять

следовательно,

Обозначим

и окончательно запишем

Билет 18

1.Вес – относительная характеристика точности результатов измерений, обратно пропорциональная квадратам средних квадратических ошибок результатов измерений , где m – ср. Кв. ошібка, с – коэф.пропорциональности

Еденица веса – результат измерения, вес которого равен 1.

2.

#20

1. исследование рядов измерений

-выполняют с целью определить точность измерений и значений распределения. Задачами исследования ряда измерении является

1.отбраковка грубых измерений.

2. определение точности одноименных измерений

3. если возможно определении системотических ошибок влияния.

4. определение критерия согласно законов.

Полное исследование ряда измерений имеет смысл если n˃50

2 ckexfz

1/ известное

2. не известное

2.

Оценка точноти с использованием доверительных интервалов

Рассмотренный в § 18 способ оценок неизвестных параметров называется точечным, а сами оценки — точечными. Он имеет тот недостаток, что точечная оценка аi, вообще говоря, не совпадает с вели

Билет 21

Средняя квадратическая погрешность. Предельная и относительная погрешность.

Среднее арифметическое из случайных погрешностей не может объективно характеризовать точность измерений, так как на его величину оказывают влияние знаки случайных ошибок (происходит компенсация) и кроме того она не отражает влияние отдельных больших по абсолютной величине ошибок. Поэтому для оценки точности ряда равноточных измерений l1; l2; … ln одной и той же величины Х, сопровождающейся случайными погрешностями Δ1, Δ2, , , , , , Δn, пользуется средней квадратичной ошибкой m, равной:

Пример: дан ряд случайных ошибок измерений некоторой величины: +4, – 2, 0, -4, +3.

Предельной погрешностью называют такое наибольшее по абсолютной величине значение случайной ошибки, которой она может достигнуть при данных условиях измерений. Установлено, что случайная ошибка может достигатьудвоенной средней квадратической ошибки в пяти случаях из ста, утроенной – в трех из тысячи. Поэтому за предельную Δпр. принимают утроенную среднюю квадратическую ошибку Δпр. = 3m.Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к измеренной величине. Она выражается простой дробью, числитель которой равен единице. Обычно относительной ошибкой характеризуют линейные измерения. Например, измерена линия длиной l=221,16 с абсолютной ошибкой Δ=0,11м.Средняя квадратическая погрешность арифметической средины.Арифметическая средина является наиболее надежным результатом из многократных измерений. Ее точность характеризуется ошибкой, величина которой должна быть меньше заданной величины, чем количество измерений. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины определяется по формуле:Оценка точности по вероятнейшей погрешности.В большинстве случаев истинное значение измеряемой величины не известно, поэтому для вычисления средней квадратической ошибки используют отклонения результатов измерений от их среднего арифметического. Эти отклонения называют вероятнейшими погрешностями. Для вычисления средней квадратической погрешности по вероятнейшим вычисляют разности между каждым результатом измерения и арифметической срединой Х0, эти разности возводят в квадрат и получают среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя:

l1 – Х0 = V1…V12

l2 – Х0 =V2…V2 2

ln – Хn =Vn…Vn 2

[l] – nХ0 = [V], Суммарное уравнение,

Откуда [l] /n -Х0 = [V] /n т.к. [l] /n = Х0, то [V] /n = 0;

Но n ≠ 0, следовательно [V] = 0.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины по вероятнейшим ошибкам определяют по формуле:Среднюю квадратичную ошибку результата по разностям двойных измерений вычисляют по формуле:Неравноточные измерения.

СРЕДНЯЯ И ВЕРОЯТНАЯ ОШИБКИ И ИХ СВЯЗЬ СО СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ В ГЕОДЕЗИИ

В геод. Практике в качестве критерия точности используют ср. вероятную, ср. кв-кую и относит. Ошибки.Ср. ошибка- ср. арифметическое из абсолютных величин ошибок равноточных измерений v=[|∆|]/n

Вероятная ошибка-это такое значение случайной ошибки при данных условиях измерений, по отношению к которому ошибки и большие и малые по абсолютной величине встречаются одинаково часто. Часто её наз. Серединной, если этот ряд расположен по убыванию или возрастанию. Вероятная ошибкой наз. Абсолютную величину вероятность которой опр. Из зависимости:

r/m_∆=0,5 ф(t)=0.5 t=r/ m_∆=0,6745 → r=0.67 m_∆

m=√[∆²]/n - ф-ла Гауса для равноточн. измер.

[∆]/n=∆=c m=√[∆²]/n+c² |∆|≤t_α* m_∆; |∆|≤t_α* m_∆/√n; ∆_i-c=δ_i Теоритическое значение ср. кв. ошибка явл. Стандарт или ср. кв. отклонение

Lim√[∆²]/n=σ; m=σ

Стандарт зависит от условий измерений, от которых и зависит предельная ошибка. Тогда ∆_пр не должно превышать значение t* σ

∆_пр‹t* σ ; ∆_пр≤3 σ; ∆_пр≤3m.

Св-ва ср. кв. ошибки:

1. На величину ср. кв. ош. Оказывают наибольшее влияние на ошибки, которые имеют большее абсалютное значение.

2. Ср. кв. ош. Связана с предельной простым отношением с вероятностью Р=0,95 риск ошибки 5% ∆_пр≤2m, с вероятностью Р=0,9973 ∆_пр≤3m эти выражения наз. Допусками. в качестве допуска Р=0,99 ∆_пр=2,5m

3. Ср. кв. ошибка определяется достаточно надежно при наибольшем числе измерений m_m=m/√2r

4. Ср. кв. связана со средней вероятной простым соотношением m=1.25v m=1.48r

5. Ср. кв. ош. явл. Состоятельной и несмещённой оценкой стандарта m²⁼δ²

6. Ср. кв. ош. 1го измерения характеризует совместное влияние на его случайных и систематических составляющих m=√m_Δ²+m_θ²

ВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ.

При испытаниях новых приборов или методов работ, а также при различных теоретических расчетах исследователь, естественно, ставит перед собой вопрос: какое число появлений ожидаемого события (при многократных испытаниях) наиболее возможно, если выполнен определенный комплекс условий, который в обобщающем виде характеризуется постоянством в процессе опыта вероятности появления события при одном испытании. Конечно, каждый раз, вычисляя все члены разложения в формуле (3.1.1) и зная из определения вероятности, что большая вероятность порождает большую уверенность в получении

желаемого результата опыта, можно определить число появлений k0 события, соответствующее вероятности p при числе испытаний n.

K₀≈ n p (3.2.1)

где k0 – вероятнейшее число появления события при многократных испытаниях. Следует подчеркнуть, что несмотря на свою простоту формула (3.2.1) имеет исключительно важное значение как для последующих теоретических выкладок, так и в особенности при решении задач на появление числа ошибок в заданных пределах. Основную трудность при решении практических вопросов с использованием формулы (3.2.1) составляет определение вероятности

появления события.

Билет №23