Тема 2. Матрицы, ранг матрицы.
1.Матрицы
Опр. Матрица – прямоуг. таблица сост. из однор. объктов.
или
,
здесь
- эл. матрицы, i
- номер строки, j
- номер столбца. Здесь i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n,.
Если m=n,
то матр. наз-ся квадратной.
Опер. с м.:
1.
A+B=C.
При этом
,
2.
.
При этом
3.
.
При этом
4.
AB=C.
При этом
,
,
Если AB=BA, то A,B- коммутурющие (перестан.) м.
.
и
Опр.
– равные
Опр.
∑
двух м. А и В наз. такая м. С, что
.
Опр.
М. (-А) наз. противоположной к А, если
Теорема.
Опер.
сложения обладают след. св-ми:
1) A+B=B+A
2) (A+B)+C=A+(B+C)
3) A+n=A
4) A+(-A)=n
Опр. Разностью А и В наз. такая Х, что А=В+Х; Х=А-В.
Утв.
Опр.
Произведением м.
на
называется C:
.
Теорема.
1) 1*A=A
2)
3)
4)
Опр.
– лин. комбин.
Опр.
Произв.
м.
на
наз.
,
.
В общ. случае
Опр. Квадратичные м. наз. перестановочными, если АВ=ВА. Пример:
1)
2) Если А и В – диаг.
Теорема.
[ ]
1) (АВ)С=А(ВС)
(АВ)С
– определитель:
,
.
(BC)
.
(AB)=(
=>
2)
3) (A+B)C=AC+BC
4) A(B+C)=AB+AC
5) –A=(-1)A
;
B
[///]
2.Ранг матрицы
Опр.
Рангом
ненулевой матрицы называется макс.
Порядок отличного от нуля минора этой
матрицы. rang
=>
rang A
3. Теорема о базисном миноре, теорема о ранге матрицы, теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
Опр.
rang
A=r
0,
0
называется базовым минором. Строки и
столбцы на пересеч. которых стоит минор
наз. Базовыми.
Теорема (о базисном миноре)
Базисные строки (столбцы) ЛНЗ. Любая строка является лин. комб. базовых строк
[ ]
rang
A=r,
занимает
левый верхний угол.
0
=>
- ,базовые столбцы. Пусть они ЛЗ => в
есть
ЛЗ столбцы =>
противоречие.
- ,базовые столбцы.
:
:
|
|=0=
i<r => 2 одинаковые строки. i>r => (r+1) (r+1), a rang A = r
=>
доказано.
2.4Теорема. Ранг матрицы не изменяется при умножении на невырожденную матрицу.
Док
А,
rang A=r, Q-невырожденная
=> det Q
0,
C=AQ, => rang C
rang A
.
[///]
Теорема. (Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг)
[ ]
Док
det
=>
матр элемент. преобр. невырождены =>
по Т1 доказано
Метод Гаусса
1)ранг трансцендентной матриц равен числу ненулевых строк
2)привести матрицу к трансцендентной форме
3)элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
4. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при умножении на невырожденную матрицу.
Док А, rang A=r, Q-невырожденная => det Q 0, C=AQ, => rang C rang A
доказано.
Теорема. Элементарные преобразования матр не меняют ее ранг
Док det => матр элемент. преобр. невырождены => по Т1 доказано
Метод Гаусса
1)ранг трансцендентной матриц равен числу ненулевых строк
2)привести матрицу к трансцендентной форме
3)элементарные преобразования не меняют ранга матрицы
5.Обратная матрица её свойства.
Опр. Матрица
наз. обратной к A,
если
Опр.
Если у А
,
то A обратимая.
Опр. М. A наз. вырожденной, если detA≠0/
Опр.
Матрица
наз. присоед. к м. А;
Теорема. (о фальш. разлож. опред.)
произвед. эл. одной строки(стобца) м.
на алг. допол. к другой строке = 0.
Разлож. по j-той строке:
Теорема. (критерий обратимости матрицы)
– обратимая detA≠0
«=>»
А – обратимая 
=det(A)=det(
«<=»
А – невырожд.; detA≠0.
Док-ем:
;
Теорема.(О ед. обратной м.)
Если
А – невырожд. квад. м. и
.
A
– квад. невырожд. м. =>
Св-ва. Обатной матрицы
1)
2)
3)
4)
5)
6. Обратная матрица
Элементарные преобразования
Теорема (Произвольная невырожденная матрица элементарными преобразованиями только строк(столбцов) приводится к единичной.)
[ ]
Основано на основном процессе.
матрица с помощью элементарных преобразований только строк приводится к ступенчатому виду. Если не вырожденная – получим верхнюю треугольную матрицу
->
Далее получаем 1 по главной диагонали с помощью эл. Преобр.-> получ. единич. Матрицу
A|E
-> E|
Над E проходят те же действия что и над A
Со
столбцами
[///]