Вопрос 38. Несобственный интегралы с бесконечными пределами интегрирования Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:  . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный:  .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом   или с двумя бесконечными пределами:  .

Мы рассмотрим самый популярный случай  . Техника работы с другими разновидностями – аналогична, и в конце параграфа будет ссылка на такие примеры.

Всегда ли существует несобственный интеграл  ? Нет, не всегда.Подынтегральная функция   должна быть непрерывной на интервале 

Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить интервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует.

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции  . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

Здесь всё хорошо, подынтегральная функция   непрерывна на интервале  , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура. Несобственный интеграл   численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то  », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например:  . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции  , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл   (расходится) либо равен отрицательному числу.

Несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница:  . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования:  . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так:  .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную  функцию   (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

Подынтегральная функция   непрерывна на интервале  , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы    и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы   «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому-что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам непонятно почему   при  , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики  и свойства элементарных функций.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

“ Подынтегральная функция  непрерывна на  Несобственный интеграл расходится. “

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла.

Если Вам встретится интеграл вроде  , то с вероятностью, близкой к 100%, можно сказать, что это опечатка. Здесь подынтегральная функция не является непрерывной на интервале интегрирования  , она терпит разрыв в точке  . Теоретически и практически допустимо вычислить два несобственных интеграла на интервалах   и  , а потом их сложить, но со здравой точки зрения такая вещь выглядит довольно абсурдно. Опечатка.

Иногда вследствие той же опечатки несобственного интеграла может вообще не существовать, так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть интервала интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функция непрерывной на интервале интегрирования.