Частотный критерий устойчивости – логарифмический частотный критерий

 

Критерий  Найквиста позволяет судить от устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам, т.е. можно заметить, что критерий Найквиста можно анализировать используя простые с точки зрения построения логарифмические частотные характеристики.  Поэтому рассматриваемый критерий часто называют критерием Найквиста в логарифмической форме.

Передаточная функция разомкнутой системы обычно представляет собой произведение элементарных динамических звеньев, асимптотические характеристики которых представляют собой ломаные прямые линии.

Устойчивость с использованием логарифмического критерия позволяет построив совмещено ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если при   соответствующая ЛФЧХ проходит таким образом, что фаза   не превосходит значения   .

1)    система устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчивой и в замкнутом, если точка А ЛФЧХ определяемая фазой   соответствует области отрицательных значений логарифмической амплитуды   ;

2)    САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива в замкнутой, если при изменении   от 0 до   разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение   лежащих в области положительных   равна половине числа корней  , где   - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

2п – 1о = 1

Следствие к первому случаю: САУ будет устойчивая в замкнутом состоянии, если ЛФЧХ неустойчивой разомкнутой системы при   будет проходить через ординату -180º одинаковое число раз как в положительном, так и отрицательном направлениях.

 

Запасы устойчивости

 

При проектировании систем автоматики стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, чтобы изменение параметров системы в процессе ее работы не могли привести к неустойчивости системы. Для реализации такого тезиса необходимо, чтобы система обладала определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости определяет удаленность параметров системы от границы устойчивости.

Положение системы на границе устойчивости можно определить, используя критерий устойчивости. Качественную характеристику удаления системы от границы устойчивости дают критерии Гурвица и Михайлова. Четкую количественную характеристику запаса устойчивости как по амплитуде, так и по фазе дает критерий Найквиста и логарифмический критерий.

В соответствии с критерием Найквиста система находится на границе устойчивости, если годограф Найквиста проходит через точку с координатами  . Такая граница носит название колебательной границы устойчивости. В логарифмических координатах такое действие может произойти, если частота среза совпадает с точкой пересечения ЛФЧХ значения - 180º.

Покажем использование критерия Найквиста для нахождения запаса устойчивости по фазе и амплитуде:

 - запас по фазе.

Запас устойчивости по модулю может быть в данном случае рассчитан как:

Значение модуля АФЧХ разомкнутой системы   при   зависит от значения коэффициента усиления (передачи). Поэтому часто запас устойчивости по модулю называют запасом по усилению и определяют как отношение предельного коэффициента передачи к текущему:

,

где   - значение коэффициента, при котором модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы равен единице и система находится на границе устойчивости. В том случае если  , то система уходит за пределы устойчивости.

 

Запас устойчивости по фазе   измеряется по дуге окружности единичного радиуса между отрицательной частью   и ближайшей точкой пересечения окружности с годографом Найквиста.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам может быть осуществлено достаточно простым способом. Необходимо на совмещенных логарифмических частотных характеристиках построить вертикальные проекции между осью абсцисс и значением -180º которые проведены через точки   и А. В результате чего получим:

 - запас по амплитуде.

Запасы устойчивости влияют не только на работоспособность (устойчивость) системы, но также характеризуют качество работы системы. В реальных системах обычно   = 15…20 дБ,   = 30…50º.