30. Электронный газ в одномерном случае. Энергия Ферми.

Рассмотрим свободный электронный газ в одномерной потенциальной яме.

Уравнение Шрёдингера имеет вид

( /2m) Ψ(x)+ЕΨ(х)=0

Решение данного уравнения ищется в виде обычной волны Де Бройля

Ψ(х)=….

К²=2mE/ħ²=>E=ħ²K²/2m K=πn/ℓ ℓ-размер ямы

Электроны в проводниках , находятся в трёхмерной потенциальной яме, Ψ(x,y,z). Мы рассмотрим частный случай одномерную потенциальную яму Ψ(х), для которой уже ранее были определены значения К и Еn

Еn=(ħ²π²/2mℓ²)n² n=1,2,3

Рассмотрим потенциальную яму при Т=0 К

Если энергетическое состояние задать 3-ой квантовых чисел, то в каждом таком состоянии могут находится 2 электрона с противоположно направленными спинами

Наивысший заполненный электронами уровень при 0⁰К называется уровнем Ферми (справедлив для проводников)

Найдем ф-цию распределения электронов по состояниям

При повышении Т электрон получает энергию КТ и т.к. в проводниках электронные уровни располагаются очень близко друг к другу, электроны с уровней, находящихся вблизи уровня Ферми получают возможность за счет тепловой энергии, перейти на уровни лежащие выше уровня Ферми.

Уровень Ферми – уровень, вероятность заполнения которого =½

Энергия соответствующая уровню Ферми, называется энергией Ферми

Если в атоме N электронов, то кол-во заполненных уровней n=N/2

=(ħ²π²)/2mℓ²(N/2)²

31. Распределение Ферми-Дирака

Рассм совокупн. невзаимодейств элементов в одномерн. случ. наз-ся эл газом:

Мы рассмотрим случай когда эл-н находится в одномерн потенц. Яме решение уравнение Шрёденгера имеет вид

В соотв с принци паули на энергетич ур-не, заданном квант. числом n может находится 2 эл-на с противоположно направленными спинами. Если эл. газ Ферми содерж N электронов, то при нуле кельвинов электронами будут заполняться все уровни до уровня ферми.

n_э=N/2

Сл-но энерг. Ферми в одномерном случ. будет равна:

Распред. Ферми-Дирака можно получ. рассм. неупруг. соударение с атомами примеси. при небольш концентр примеси распред-е примеси подчин-ся статике. Больцмана.

Предполож., что атом примеси может находится только в 2 сост. с энерг 0 и с энерг ε

Рассм переход эл-на в руки соударения с атомом примеси с энерг Е и волн числом k в сотояние E+ε

Опр вероятн. перехода эл-на из сост k в сост k’. P_kk’-?

Переход будет происх. только в том случ., если сост с энерг E занято эл-ном. Вероятн., того что эл-н наход-ся в сост с энерг E=f(E)

Сост. с энерг E+ε должно быть свободно . Вероятн., что это сост. свободно 1-f(E+ε).Для того чтобы такой переход был возможен , атом примеси должен наход-ся в сост с энерг ε Вероятн этого обозн через P(ε)

Вероятн. одновр. наблюд независ. соб. опр-ся произв. вер. этих событий

Вероятн обратн перехода будет отлична от 0, если сост. с энерг Е свободна,вероятноть этого равна.1-f(Е)

Сост с энергией Е+ε будет f(E+ε). Атом примеси должен наход-ся в сост. с энерг 0 т.о

Согласно принцмпу детального равновесия вероятн этих переходов равны. т.е

Атомы примеси подчиняются статистике Больцмана

Данное соотношение должно быть справедливо при любом знач температуры. Это возм. Если положить что

Решение системы приводит к результату

f(E)=

Решение системы приводит к рез-ту:

µ - химич концентрация при T=0K. Химич. Потенц. равен энергии Ферми.

По своему смыслу функция распред. –это не что иное как средн число эл-нов , наход-ся в сост. с энерг. Е

В случ высок. энергий когда E- >>kT , то >>1