Теорема (Эйлера об однородных функциях ). Если однородная степени функция является дифференцируемой на , то

(9)

□ Продифференцируем по тождество (8) Взяв в последнем равенстве , получаем (9). ■

§7.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть во всех точках области функция имеет частную производную Если эта производная, как функция имеет в некоторой точке производную , то её называю частной производной второго порядка и обозначают или . Если , то пишу .

Для функции двух переменных можно записать четыре производные второго порядка: . Производные или называют смешанными производными.

Например, для функции имеем , т.е. .

Теорема (о смешанных производных). Если смешанные производные функции определены в некотоой окрестности точкаа и непрерывны в этой точке, то .

□ Рассмотрим прямоугольник , который содержится в указанной окрестности. Рассмотрим в функцию

Зафиксируем значение и рассмотрим на интервале функцию Эта функция на интервале имеет производную

Очевидно, что функцию можна представить следующим образом

Используя формулу Лагранжа, получаем

Если в правой части этого равенства рассмотреть разность в скобках как приращение функции одной переменной (первая переменная зафиксирована), то после применения к ней формулы Лагранжа получаем

(1)

Если далее функцию , то аналогично получаем

(2)

Из равенств (1) и (2) следует = (3)

Используя непрерывность смешанных производных и переходя к пределу в (3) при , получаем . ■

Замечание. Поскольку для функции переменных при вычислении смешанных производных и все переменные кроме и фиксируются, то фактически рассматривается функция двух переменных и поэтому для фнп смешанные производные второго порядка также равны в точке , если они непрерывны в этой точке.

Производные порядка выше второго определяются по индукции. Например, для функции частная производная –го порядка определяется в соответствии с равенством

Равенство смешанных производных любого порядка следует из теоремы о смешанных производных.

Например, покажем верность равенства для функции . Действительно, из равества следует

Пусть функция имеет в области непрерывные частные производные. Тогда (4)

Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Если в (4) зафиксировать , то функция из (4), которая в имеет непрерывные частные производные, является дифференцируемой. При этом её дифференциал имеет следующий вид

Его называют вторым дифференциалом функции в точке и обозначают . Таким образом,

(5)

Покажем, что второй дифференциал не имеет свойства инвариантности формы.

Пусть , а функции и имеют непрерывные частные производные второго порядка в соответствующих областях, где существует сложная функция . Поскольку первый дифференциал имеет свойство инвариантности формы, то

.

Тогда

(6)

Формула (6) отличается от (5) наличием слагаемого , которое обращается в нуль, если – независимые переменные.

Замечание. Если – линейные функции , то , т.е. второй дифференциал имеет свойство инвариантности формы относительно линейной замены.

Если функция двух переменных имеет непрерывные вторые частные производные, то с учётом равенства получаем

или в символической записи

Для функции аналагично получаем

По индукции определяется и для функции , если – независимые переменные. Символическая формула записи –го дифференциала приобретает вид

Так