II. Примеры решения заданий практической части.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
.
Решение. Уравнение
является уравнением с разделяющимися
переменными (4). Преобразуем данное
уравнение:
;
;
или
.
Проинтегрируем обе части полученного
равенства:
;
;
;
;
.
Выразим из последнего равенства у явно:
;
;
.
Ответ: .
2.
.
Решение. Выразим в данном уравнении
:
;
.
Проверим, является ли функция
однородной нулевого порядка.
,
следовательно, f(x,y)
– однородная функция нулевого порядка.
Поэтому уравнение
или
является однородным дифференциальным
уравнением первого порядка (5). Решим
полученное уравнение с помощью замены
y=kx.
y=kx, где к=к(х), тогда у=кх+к, получаем:
;
;
;
;
;
;
.
Последнее уравнение является уравнением
с разделяющимися переменными. «Разделяем»
переменные:
.
Проинтегрируем обе части полученного
равенства:
.
;
;
.
Преобразуем полученное равенство:
;
;
.
Вернемся к переменным х и у:
,
;
;
.
Ответ: .
3.
.
Решение. Преобразуем данное уравнение, для того чтобы определить его тип.
;
;
.
Полученное уравнение является уравнением Бернулли (7), решать которое будем методом произведения.
Пусть у=u(x)v(x), тогда у=u(x)v(x)+ u (x)v(x), получаем
,
сгруппируем второе и третье слагаемое
левой части и общий множитель u
вынесем за скобку
. (*)
Найдем функцию v(x) из условия
;
;
;
.
Проинтегрируем обе части последнего
равенства:
;
(постоянную
интегрирования считаем равной 0: С=0),
откуда
.Полученное выражение для v подставляем в равенство (*), учитывая, что :
;
;
.
Последнее уравнение является уравнением
с разделяющимися переменными:
;
.
Проинтегрируем обе части последнего
равенства:
;
;
Воспользуемся методом интегрирования
«по частям»:
;
,
откуда находим
;
.
Таким образом,
или
.
Ответ: .
4.
.
Решение. Проверим, является ли данное
дифференциальное уравнение уравнением
в полных дифференциалах. Для этого
обозначим
,
.
Проверим, выполняется ли условие
.
,
,
очевидно, что
,
следовательно, данное уравнение является
уравнением в полных дифференциалах.
Тогда его общее решение можно найти по формуле
,
где
.
Таким образом,
.
Ответ: .
Найти частное решение дифференциального уравнения .
Решение.
Преобразуем уравнение, чтобы определить
его тип:
;
;
;
;
;
.
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка (6), решать которое можно двумя способами: методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной) или методом произведения. Рассмотрим оба метода.
Метод Лагранжа.
Запишем и найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному:
.
;
;
;
;
;
;
;
.
Общее решение данного линейного дифференциального уравнения будем искать в виде , считая С=С(х).
Так как функция
является решением уравнения, то при
подстановке ее, а также ее производной
в уравнение
получим верное равенство.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Запишем общее решение данного линейного дифференциального уравнения:
.