Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи Коши.

Требуется найти функцию , которая в области удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), а на прямой - начальным условиям

. (2)

Постpоение pазностной схемы

В области введем прямоугольную сетку:

.

На множестве внутренних узлов

имеем

(3)

Вторую производную по x в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(4)

где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:

(5)

где -1 <  < 1. Получение формул вида (4) и (5) для аппроксимации производных рассматривалось в п.10.1 и 11.1.

Отбрасывая в (4) и (5) остаточные члены и подставляя в (3), получаем разностные (сеточные) уравнения:

. (6)

Разностное уравнение (6) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h: .

Первое начальное условие из (2) аппроксимируется точно уравнением

. (7a)

Во втором начальном условии первую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением в соответствии с равенством

.

В результате получаем разностное уравнение

(7b)

с первым порядком аппроксимации по l:

Таким образом, построена разностная схема (6), (7), которая имеет второй порядок аппроксимации по h и первый порядок аппроксимации по l.

Разрешимость разностной схемы.

Как следует из (6), решение выражается явным образом через значения на двух предыдущих слоях:

(8)

Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (7b) определяется решение на первом слое:

(9)

Повышение порядка аппроксимации начальных условий.

Поскольку разностное уравнение (6) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

,

где 0 <  < 1. Отсюда получим

.

Так как в соответствии с дифференциальным уравнением (1)

,

то имеем

.

Следовательно, разностное уравнение

(10)

аппроксимирует второе начальное условие из (2) со вторым порядком по l:

Разностная схема (6), (7a), (10) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (10) определяется решение на первом слое:

. (11)

На остальных слоях решение вычисляется по формуле (8).

Условие Куранта, Фридрихса, Леви.

При использовании сеточного метода решения задачи Коши для гиперболического уравнения шаги сетки h и l должны удовлетворять определенным соотношениям.

Возьмем произвольную точку S множества D и зафиксируем ее. Возьмем также произвольную положительную константу  и построим прямоугольную сетку так, чтобы и в точке S получался узел сетки . Из точки S проведем прямые соответственно через узлы и до пересечения с осью абсцисс.

D

C

S

x

t

A

B

Рисунок 1.

Как следует из (6) и (7) решение разностной схемы в точке S однозначно определяется значениями функций в узлах сетки, расположенных на отрезке CD. Поэтому треугольник SCD называют треугольником определенности разностной схемы для точки S. Через точку S проходят две характеристики дифференциального уравнения (1) соответственно под углом и к оси абсцисс. Эти характеристики пересекают ось абсцисс соответственно в точках B и A. В математической физике доказывается, что решение в точке S задачи Коши для уравнения (8) однозначно определяется начальными условиями на отрезке AB. Поэтому треугольник SAB называют треугольником определенности дифференциального уравнения (1) для точки S.

Очевидно, при =1 треугольник определенности разностной схемы в нашем случае будет совпадать с треугольником определенности дифференциального уравнения, а при >1 будет находиться внутри него. В последнем случае (при >1) разностная схема будет неустойчивой. Действительно, изменения начальных условий на отрезках AC и DB в разностной схеме не влияют на значение решения в узле S, а в дифференциальной задаче влияют.

Таким образом, для устойчивости разностной схемы для гиперболического уравнения необходимо, чтобы треугольник определенности дифференциального уравнения содержался внутри треугольника определенности разностной схемы. Это необходимое условие впервые было сформулировано в одной из работ Куранта, Фридрихса и Леви.

В общем случае треугольники определенности дифференциального уравнения и разностной схемы могут быть криволинейными. Однако и тогда имеет место сформулированное выше необходимое условие устойчивости разностной схемы.