2. Период затухающих колебаний в системах с вязким трением

Определите период затухающих колебаний системы Т, если период собственных колебаний Т₀ = 1 с, а логарифмический декремент затухания . Сколько колебаний совершит эта система до полной остановки?

Решение

1. Период затухающих колебаний в системе с вязким трением больше периода собственных колебаний ( при отсутствии трения в системе). Частота затухающих колебаний, наоборот, меньше частоты собственных и равна , где - коэффициент затухания.

2. Выразим циклическую частоту через период и учтем, что логарифмический декремент затухания равен :

3. После преобразований получаем

4. Колебания можно считать прекратившимися, когда энергия системы уменьшится в 100 раз:

Э нергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника

После преобразований получаем

5. Выражаем коэффициент затухания через логарифмический декремент , получаем .

Число колебаний, которое совершит система до остановки, равно .

3. Число колебаний, совершаемых маятником до уменьшения амплитуды в два раза.

Логарифмический декремент затухания маятника равен q = 3×10^-3. Определите число полных колебаний, которое должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в 2 раза.

Решение

1. Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением времени уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.

Поскольку амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, получаем

2. Время колебаний можно представить как произведение периода колебаний на их количество :

Подставляем полученное значение времени в выражение (*)

3. Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем .

Находим число колебаний

4. Добротность колебательной системы

Определите добротность маятника, если за время, в течение которого было совершено 10 колебаний, амплитуда уменьшилась в 2 раза. Через какое время маятник остановится?

Решение

1. Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением времени уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.

Поскольку амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, получаем

2. Время колебаний можно представить как произведение периода колебаний на их количество :

Подставляем полученное значение времени в выражение (*)

3. Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем . Логарифмический декремент затухания равен

4. Добротность колебательной системы

5. Колебания можно считать прекратившимися, когда энергия системы уменьшится в 100 раз:

Э нергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника

После преобразований получаем

Находим время, через которое колебания прекратятся