Тема 12.2. Случайные величины.

Общие указания.

Кроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории вероятностей изучают случайные величины – величины, которые в результате испытания принимают те или иные значения в зависимости от исхода испытания. Для решения задач по теме 12.2. Случайные величины нужно уяснить:

1.Рассматриваются случайные величины только двух типов – дискретные и непрерывные.

2. Дискретная случайная величина (обычно обозначают X, Y …) полностью определяется своим законом распределения – таблицей, в которой перечислены все значения и вероятности, с которыми она принимает эти значения.

3. Универсальным способом задания случайной величины является функция распределения – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее произвольно выбранного значения действительного числа х:

4. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси ОХ. При изучении непрерывных случайных величин основным является понятие плотности вероятности

.

5. При решении задач используются свойства закона распределения случайной величины, функции распределения и функции плотности .

6. Случайные величины удобно характеризовать с помощью нескольких числовых характеристик – определяющих свойства случайной величины. К основным из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Надо знать формулы для их вычисления и смысл каждой как для дискретных, так и для непрерывных величин.

7. Задачи 12.2.3 и 12.2.4 требуют знаний основных законов распределения случайных величин и их числовых характеристик: биноминальное, геометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное и нормальное распределение.

Задача 12.2.1.

Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	m	m +n
	0,2	0,1	0,2

Найти вероятности р₄ , р₅, и дисперсию D , если математическое ожидание

Решение:

Выберем значения параметров m=6 и n=1. Тогда закон распределения дискретной величины по условию задачи:

	-2	-1	0	6	7
	0,2	0,1	0,2

Математическое ожидание:

Для дискретной случайной величины справедливы формулы:

, , где k – число значений случайной величины

1. В рассматриваемой задаче указанные соотношения представляются сис­темой уравнений с неизвестными и :

Для определения и в систему уравнений подставляем известные чи­словые значения:

Получим систему, решая которую определим и :

2. Дисперсия случайной величины находиться по формуле:

где математическое ожидание квадратов случайной величины; квадрат математического ожидания.

Задача 12.2.2.

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти:

а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины в интервал

г) математическое ожидание и дисперсию . Построить графики функций и .