1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу  , при этом  .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса:   и нечётность гиперболического синуса:  . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде   все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции. Если  , то 

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников. Вспоминаем школьную формулу  . В знаменателе у нас уже есть  , значит, сопряженным выражением будет  . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на  :

Вот и всё, а вы боялись:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Повторюсь в третий раз – не теряем минус у мнимой части!!!

Проверим выполнения условий Коши-Римана. Надо сказать, частные производные здесь не то чтобы о-го-го, но уже не из простейших:   Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

В качестве эпилога короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами. А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».

Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?». Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба.

Неплохо разгрузились, до встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? Там разобрана обратная задача.

Иногда очевидное – это самое сложное, всем желаю не тормозить!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: так как  , то:  Ответ:   – действительная часть,   – мнимая часть.

Пример 4: Решение: Так как  , то:   Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши Римана: Условие   выполнено. Условие   также выполнено. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ:   – действительная часть,   – мнимая часть.  Условия Коши-Римана выполнены,  .

Пример 6: Решение: определим действительную и мнимую части данной функции.  Так как  , то:  Таким образом:  – действительная часть функции  ; – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены,

Пример 8: Решение: Так как  , то: Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены, 

Пример 10: Решение: Так как  , то: Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

Автор: Емелин Александр