41. Р фурье. Разл с пер 2п.

( 1 ) где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …,b_n, …- пост числа (ω>0) . Пусть период функция ƒ(х) с пер 2π т, что она представляется тригон-ским рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда: ƒ(x)= . (2) Проинтегрируем обе части равенства (2):

. Вычислим отдельно каждый инт, встреч-ся в правой части: , , .

Т.о, , откуда . (4)

42. Ряд Фурье для функции с периодом 2l. Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле х = lt / π. Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π: ; Возвратимся к старой переменной x: Тогда будем иметь: (24)

Формула (23) получит вид , (25)

где коэффициенты a_0, a_k, b_k вычпо формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

43. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

. Действительно,

так как по опр четной функции ψ(- x) = ψ(x). Аналогично м док, что если ψ(x) – нече функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; след-но,

(21) т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

(22) т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

45. Производная по направлению. Рассм ф-ю u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М₁( x + x, y + y, z + z). Пров через т М и М₁ вектор . Углы наклона этого в-ра к напр-нию корд-х осей х, у, z обозначим соотв-нно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора . Расст м-ду точками М и М₁ на векторе обозначим S.

z

М

М1

у

х Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда

, где величины ₁, ₂, ₃ – бесконечно малые при . Из геоме-х соображений очевидно:

Т.о, приведенные выше рав-ва мб представлены след образом:

; Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора . Из этого уравнения следует следующее определение: Опр: Предел наз-ся производной функции u(x, y, z) по напр-ю в-ра в т с к-натами ( x, y, z).

П РОИЗВОДНАЯ