17, Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

18. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов.

Свойство 1.   (6)

Свойство 2.   (7)

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если  , то

 (8)

Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

 (9)

Свойство 5. Если отрезок [a, b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c, b], то

Свойство 6. Если всюду на отрезке [a, b] функция неотрицательна   то   а если   то 

Свойство 7. (Интегрирование неравенств).

Если на отрезке [a, b] функции   и   удовлетворяют условию  , то

 (11).

Свойство 8. (Оценка определенного интеграла).

Если на отрезке [a, b] функция удовлетворяет условию  , то определенный интеграл удовлетворяет неравенству

 (12)

Свойство 9. (Теорема о среднем).

Определенный интеграл от функции  , непрерывной на отрезке [a, b], равен значению подынтегральной функции в некоторой «средней» точке с промежутка интегрирования, умноженному на длину этого промежутка:

   (13).

Свойство 10. Абсолютное значение интеграла не превосходит интеграла от абсолютного значения функции: 

19,Несобственный интеграл первого рода.

Определение Предположим, что функция   задана на бесконечном промежутке вида  и интегрируема на любом конечном отрезке   , где   . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при   , то число   называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

20.Несобственный интеграл второго рода.

Пусть на полуинтервале   задана функция   , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке   . В точке   эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к   , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при   . Эта функция может иметь предел при  (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от   по всему полуинтервалу   и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция   удовлетворяет указанным выше условиям на   . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.