15. Передача координат с вершины знака на землю.

Дополнительные (уединённые) пункты устанавливают для сгущения геодезической сети до необходимой плотности пунктами съемочного обоснования. Плановое положение этих пунктов определяют передачей координат с вершины знака на землю, прямой, обратной, комбинированной и линейной засечками, лучевыми и полярными системами. Координаты с вершины знака на землю передают в том случае, когда необходимо привязать полигонометрический (теодолитный) ход к пункту А существующей сети (рис. 17.1), на котором нельзя встать с прибором (шпиль башни, колокольня церкви и др.). Для привязки хода выбирают вблизи пункта А на земле пункт Р с таким расчетом, чтобы с него был виден пункт А и два удаленных исходных пункта В и С (один из них для контроля определения координат пункта Р) и было удобно измерить два базиса для определения недоступного расстояния АР. Для решения задачи измеряют базисы b и bʹ и шесть углов β₁, β₂, β₁ʹ, β₂ʹ, δ и δʹ (см. рис. 17.1), причем второй базис и углы при нем используют для контроля определения расстояния АР и повышения точности его окончательного значения, а угол δʹ - для контроля правильности произведенных измерений, выписки исходных данных и повышения точности определения координат точки Р (если их получают по результатам решений двух вариантов задачи). Рассмотрим порядок решения задачи. Вычисление дирекционных углов (АВ), (АС) и расстояний АВ=S, АС =Sʹ. По координатам исходных пунктов А и В вычисляют диррекционный угол

(АВ)=arctg ,

А затем расстояние АВ=S

S= = .

Если полученные значения S различаются на две единицы последнего знака, то за окончательное принимают среднее арифметическое из них. Если расхождение больше указанного, то, убедившись в правильности вычислений, за окончательное принимают значение, полученное по большему (по абсолютному значению) значению тригонометрической функции (точнее, по значению функции, имеющему большее число значащих цифр). Расстояние S может быть вычислено и по формуле S=

Точно так же определяют дирекиионный угол (АС) и расстояние АС. Иногда дирекционные углы (АВ), (АС) и расстояния АВ, АС не приходится вычислять, так как они бывают известны и из материалов исходной геодезической сети. Определение недоступного расстояния АР= d. Из двух вспомогательных треугольников с базисами Ь и bʹ по теореме синусов находят

=b и =bʹ

где γ = 180°- ( + ), γ=180°-( + )

Разность | - | не должна превышать 2d 1/Т, где 1/Т— предельная относительная погрешность измерения базисов Ь и bʹ. За окончательное значение расстояния АР принимают среднее арифметическое значение d=( + )/2.

Вычисление дирекционного угла (АР). Из четырёхугольников АВР и АСР по теореме синусов находят углы

Ψ=arcsin и Ψʹ=arcsin .

Затем вычисляют вспомогательные углы

ϕ=180° - (δ+Ψ ), ϕʹ=180°-(δʹ+Ψʹ)

и по ним определяют два значения дирекционного угла (АР):

(АР)₁ = (АВ) ± <ϕ, (АР)₂ = (АВ) ± ϕ'.

Знаки «+» и «—» в этих формулах берут в зависимости от расположения углов ϕ и ϕ' относительно направлений АВ и АС. Расхождение между значениями (АР)] и (АР)^ должно удовлетворять неравенству

w=|(АВ)₁-(АР)₂|‹6 , гае —средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Вычисление координат точки Р. По расстоянию АР=d и дирекционному углу (АР) находят приращения координат:

Δx₁=dcos (AP)₁, Δy₁= sin(AP)₁;

Δx₂=dcos(AP)₂, Δx₂=dsin(AP)₂.

Затем вычисляют координаты точки Р.

x₁= +Δ , y₁= +Δy₁;

x₂= +Δx₂, y₂= +Δy₂.

За окончательные значения координат принимают средние арифметические значения Х=(Х1+Х2)/2, y=(y₁+y₂)/2.

Оценка точности положения точки Р. Средней квадратической погрешностью положения точки называют среднее значение смещения относительно ее точного положения, определяемое в общем случае соотношением

М= .

В данном случае средняя квадратическая погрешность положения точки Р может быть получена по формуле

М= ,

Где = ,

Или М= .

Средняя квадратическая погрешность определения недопустимого расстояния может быть превычислена по формуле

,

теоретический анализ которой показывает, что оптимальными для решения задачами являются не равносторонние вспомогательные треугольники с базисами Ь и b' (см. рис. 17.1), а прямоугольные с прямыми углами . Значение угла β₂ для этих треугольников зависит от соотношения точностей угловых и линейных измерений. Каким должно быть расстояние АР, чтобы значение М было по возможности меньше и не выходило за определенные пределы, зависит от многих факторов. В частности, выбор расстояния АР связан с высотой знака на пункте А, точностью применяемых приборов, требуемой точностью определения положения точки Р. При близком расположении точки Р относительно пункта А неудобно проводить наблюдения из-за большого значения угла наклона . Кроме того, большая разность углов , и вызывает дополнительные погрешности в измерении горизонтальных углов из-за отклонения оси вращения прибора от вертикального положения и изменения фокусировки при наблюдениях на близкий и далекий пункты.